Дифференцирование функций, заданных неявно

Определение 2. Пусть для каждой точки и плоскости существует единственное число. Тогда говорят, что на плоскости задана функция двух переменных и .

Определение 3. Придавая постоянные значения числу z (), получим уравнения, задающие линии в пространстве. Тогда функция , заданная уравнением , называется заданной неявно.

Для того, чтобы продифференцировать неявно заданную функцию , необходимо продифференцировать обе части уравнения . Пример. Если , то уравнение задает окружности с центром на оси . Найдем производную функции , заданной уравнением : .

Формулы дифференцирования

1)

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как

, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■

2) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как , то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■

3) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как , то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 3 из второго замечательного предела. ■

4) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как

, то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■

5) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Так как

, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■

6).

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим

. ■

7) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим

■

8) .

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим . ■

9) .

10) .

11) .

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование применяется для вычисления производной дробных (целых) выражений, имеющих много скобок и выражений вида . Для начала необходимо прологарифмировать выражение, затем взять производную от обеих частей, учитывая, что - функция.

Пример. Вычислим производную функции :

,

.

Пример. Вычислим производную функции :

,

,

.

п. 3 Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда ,.

Определение 1. Дифференциалом функции называется главная часть приращения и обозначается. . Дифференциалом аргумента (вне зависимости от переменной) называют его приращение . Таким образом, дифференциал функции равен . Тогда производная функции равна .

Геометрический смысл дифференциала

(рисунок)

Так как , то дифференциал функции равен . Таким образом, .

Физический смысл дифференциала

Пусть тело движется по закону . Тогда дифференциалом перемещения является то приращение расстояния за промежуток времени , пройденное со скоростью в промежутке. Таким образом, .

Инвариантность дифференциала функции

Если функция является сложной, то ее дифференциал равен . Тогда или .

Замечание. С дифференциалами обращаются также как и с производными, поэтому для дифференциала справедливы те же правила дифференцирования. На практике дифференциал применяют для приближенных вычислений:

,, т.е. .

Пример. Вычислим . Для этого рассмотрим функцию в точке . Приращение , тогда , , .

п. 5 Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Пусть функция имеет производную порядка. Тогда производной -го порядка называется .

Пример. .

Для нахождения производной произведения -го порядка пользуются аналогом бинома Ньютона:

; .

Заметим, что , тогда .

Определение 2. Дифференциалом -го порядка называется

.

В частности,

.

п. 6 Свойства дифференцируемых функций

Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции локальным максимумом (минимумом), если найдется -окрестность точки такая, что . Точки локального минимума и максимума называются точками локального экстремума.

Теорема 1. Теорема Ферма

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем - точка локального экстремума функции . Тогда .

Доказательство:

Для определенности пусть - точка локального экстремума, т.е. . Рассмотрим производную .

Так как , то получим, что . ■

Замечание. Теорема Ферма является необходимым условием экстремума. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Пример. Рассмотрим функцию . Производная функции равна нулю при , но эта точка не является точкой экстремума функции.

Пример. Для квадратичной функции абсцисса вершины параболы является точкой экстремума, а ордината - экстремумом функции. Исходя из этого, найдем координаты вершины параболы. Так как и , , то .