Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 8. Интегральное исчисление.doc

Скачиваний:

Добавлен:

04.11.2018

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

П. 8 Классы интегрируемых функций

Теорема 1. .

Доказательство:

Пусть функция непрерывна на отрезке , Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке. Зафиксируем некоторое . Тогда для найдется такое , что для разбиения отрезка на отрезки , длины которых , все колебания функции на отрезках разбиения удовлетворяют условию . Отсюда получим при условии . Следовательно, для непрерывной функции на отрезке выполнено достаточное условие интегрируемости. Значит, существует определенный интеграл . ■

Теорема 2. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке , кроме конечного числа точек разрыва, то функция интегрируема на отрезке .

Доказательство:

Достаточно рассмотреть случай одной точки разрыва на отрезке . Пусть , , - колебание функции на отрезке . Возьмем любое достаточно малое и рассмотрим отрезки и . На каждом из этих отрезков функция непрерывна. Следовательно, найдется такое , что при разбиении их на частичные отрезки , длины которых , все колебания функции на этих отрезках разбиения удовлетворяют условию . Пусть . Рассмотрим произвольное разбиение отрезка на частичные отрезки , длины которых . Для этого разбиения рассмотрим , где первая сумма составляется по частичным отрезкам, целиком лежащих вне -окрестности точки , а вторая сумма – по отрезкам, либо целиком лежащих в этой окрестности, либо имеющих общие с ней точки. Тогда имеем .

Длины отрезков, целиком попавших в -окрестность точки , в сумме не превосходит . Число отрезков, лишь частично попавших в эту окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше . Следовательно, . Таким образом, при условии . ■

Теорема 3. Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на отрезке .

Доказательство:

Пусть для определенности функция монотонно возрастает на отрезке . Если , то независимо от разбиения отрезка . Если , то для некоторого возьмем . Пусть - произвольное разбиение, для которого . Тогда . ■

п. 9 Свойства интегрируемых функций

Теорема 1. Пусть . Если изменить значение функции в конечном числе точек, то это не скажется на интегрируемости функции и на значении .

Доказательство:

Изменим значение функции в конечном числе точек отрезка . Тогда изменится только конечное фиксированное число колебаний функции на частичных отрезках . Так как , то . Таким образом, функция остается интегрируемой на отрезке .