9.4. Перетворення рівнянь плоскої задачі теорії пружності при конформному відображенні

Розв’язання задач плоскої теорії пружності для областей, обмежених деякими гладкими некруговими контурами, істотно спрощуються, якщо використати подання компонентів тензора напружень і вектора зміщень в ортогональній криволінійній системі координат , яка встановлюється для заданої області площини на підставі так званого конформного відображення (перетворення) цієї області на зовнішність (або внутрішність) одиничного кола.

Розглянемо дві площини: фізичну площину і деяку параметричну комплексну площину . Нехай комплексні змінні і зв’язані між собою співвідношенням

, (9.59)

де – однозначна аналітична функція в області на площині . Рівність (9.59) ставить у відповідність кожній точці в площині точку в площині . Таким чином можна зробити висновок, що, згідно з рівністю (9.59), точкам області на площині відповідають точки деякої області в площині і навпаки. В такому разі говорять, що функція (9.59) здійснює однозначне (конформне) відображення області на область і навпаки. При цьому функція повинна бути однозначною і в кожній точці області .

Обмежимося розглядом області двох типів:

1. однозв’язна скінчена область, яка обмежена простим замкненим контуром ;

2. нескінченна область , яка обмежена простим замкненим внутрішнім контуром .

Область першого виду будемо відображати на круг , а область другого виду – на область , тобто на нескінченну площину з круговим отвором радіусом .

Контур круга будемо позначати через , а його довільну точку – через .

При розв’язуванні плоскої задачі методом конформного відображення функції , необхідно виразити через нову змінну , яка вводиться співвідношенням (9.59), а також перетворити основні формули плоскої задачі. Величини і можна розглядати також як криволінійні координати точки на площині .

Функції Колосова-Мусхелішвілі приймають вигляд

; . (9.60)

Зрозуміло, що функції , відмінні від функцій , . Однак для простоти позначень для функцій , умовно збережемо позначення , . Приймаючи цю домовленість, одержимо

;

, (9.61)

де враховано, що

.

Аналогічно маємо

, (9.62)

де .

Враховуючи рівності (9.61), (9.62), із (9.30) знаходимо

. (9.63)

Відносно ортогональних криволінійних координат , в площині , які одержуються при конформному відображенні, на підставі (8.4) визначаємо

. (9.64)

Обчислимо величину . З цією метою припустимо, що точка зміститься на величину вздовж лінії . В такому разі

. (9.65)

З іншого боку, оскільки точка зміщується вздовж лінії , для якої криволінійна координата , маємо

. (9.66)

Згідно з формулою (9.59) можна записати

. (9.67)

На основі рівностей (9.65) – (9.67) знаходимо

;

; . (9.68)

Тоді формула (9.64) запишеться у вигляді

. (9.69)

Перейдемо тепер до визначення компонент тензора напружень в криволінійній системі координат . Ці компоненти будемо позначати через , , . Вони збігаються з відповідними компонентами , , в прямокутній системі координат , якщо її початок взяти в розглядуваній точці , а вісь напрямити вздовж осі . Враховуючи це, а також беручи до уваги формули (8.8), (8.9), одержимо

;

. (9.70)

На підставі (9.32), (9.33) із (9.70) знаходимо

;

. (9.71)

Із формул (9.71) випливає

. (9.72)

Граничні умови для визначення комплексних потенціалів , одержимо з граничних умов (9.37), (9.38) при відповідній заміні змінної , коли , а , де . Враховуючи це, згідно з (9.37), для першої основної задачі маємо таку граничну умову

, (9.73)

де величина визначається за формулою

. (9.74)

Зауважимо, що в правій частині (9.74) змінну (після обчислення інтеграла) можна замінити змінною , згідно з перетворенням (9.59).

Для другої основної задачі на підставі (9.38), маємо таку граничну умову

, (9.75)

де , – граничні значення компонент зміщень , на контурі .

Для встановлення структури комплексних потенціалів і в необмеженій області необхідно спочатку встановити структуру відображуючої функції .

Якщо області і необмежені і їх безмежно віддалені точки відповідають одна одній, то функція має вигляд

, (9.76)

де – стала.

Підставляючи (9.76) в (9.58), знаходимо

;

. (9.77)

Тут , – голоморфні функції в області .