6. Построение графиков функций.
При построении
графика функции
удобно следовать следующей схеме.
-
Область определения функции.
-
Четность (нечетность), периодичность функции.
-
Точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых
и
. -
Стационарные и критические точки, промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы.
-
Возможные точки перегиба, промежутки выпуклости вверх (вниз) функции.
-
Асимптоты графика.
-
График функции.
Примеры
6.1.
Исследовать функцию :
и построить её график.
1) Область
определения функции:
.
Точек разрыва нет.
2) Функция общего
вида (т.е. ни нечетная, ни четная,
непериодическая), т.к.
,
,
при
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью
:
точки
и
.
С осью
:
точка
.
На всей области
определения
функция
.
-
Найдём стационарные точки. Так как
,
то, решая уравнение:
,
получаем
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
|
убывает |
|
|
0 |
min
|
|
|
|
возрастает |
|
|
0 |
max
|
|
|
|
убывает |
|
|
0 |
min
|
|
|
|
возрастает |
-
Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то решением
уравнения
будет
.
Составим таблицу знаков второй производной
|
|
|
|
|
|
|
выпукла вниз |
|
|
0 |
точка перегиба
|
|
|
|
выпукла вверх |
|
|
0 |
точка перегиба
|
|
|
|
выпукла вниз |
-
Так как у исследуемой функции нет точек разрыва и
,
то асимптот у графика нет.
7) Используя данные, полученные в п.п. 1-6, построим график функции.
6.2. Исследовать
функцию:
и построить её график.
1) Область
определения функции:
.
Точек разрыва нет.
2) Функция общего
вида (т.е. ни нечетная, ни четная,
непериодическая), т.к.
,
,
при
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью
:
точки
и
.
С осью
:
точка
.
Функция
при
и
при
.
-
Найдём стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение
,
получаем стационарную точку
.
Кроме того, имеются две критических
точки
и
в которых производная бесконечна.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
|
убывает |
|
|
|
экстремума нет
|
|
|
|
возрастает |
|
|
0 |
min
|
|
|
|
возрастает |
|
|
|
экстремума нет
|
|
|
|
возрастает |
-
Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то возможными
точками перегиба будут точки
и
.
Составим таблицу знаков второй производной
|
|
|
|
|
|
|
выпукла вверх |
|
|
|
точка перегиба
|
|
|
|
выпукла вниз |
|
|
|
точка перегиба
|
|
|
|
выпукла вверх |
6) Найдём асимптоты. Так как точек разрыва нет, и
,
то асимптот у графика функции нет.
7) Построим график функции
6.3. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область
определения функции:
.
2) Функция общего
вида (т.е. ни нечетная, ни четная,
непериодическая), т.к.
,
,
при
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью
:
точек
пересечения нет.
С осью
:
точка
.
Функция
при
и
при
.
4) Найдем стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение
,
получаем стационарную точку
.
Кроме того, имеются две критических
точки
и
в которых производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
|
возрастает |
|
|
не существует |
разрыв 2 рода |
|
|
|
возрастает |
|
|
0 |
точка максимума
|
|
|
|
убывает |
|
|
не существует |
разрыв 2 рода |
|
|
|
убывает |
-
Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то точек перегиба
нет, а промежутками постоянного
направления выпуклости будут интервалы
,
,
.
Составим таблицу знаков второй производной.
|
|
|
|
|
|
|
выпукла вниз |
|
|
|
разрыв 2 рода |
|
|
|
выпукла вверх |
|
|
|
разрыв 2 рода |
|
|
|
выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальные:
,
,
так как в этих точках функция имеет
разрыв 2 рода.
Найдём наклонную
асимптоту. Угловой коэффициент прямой
и
число
найдём, применяя формулы:
,
получаем
горизонтальную асимптоту
,
наклонных асимптот нет.
7) Построим график функции.
6.4. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область
определения функции:
.
2) Функция общего
вида (т.е. ни нечетная, ни четная,
непериодическая), т.к.
,
,
при
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью
:
.
С осью
:
точек пересечения нет.
Функция
при
и
при
.
4) Найдем стационарные и критические точки. Вычисляя первую производную
,
находим критические
точки
и
,
в которых производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
|
убывает |
|
|
|
разрыв 2 рода |
|
|
не определена |
не определена |
|
|
|
разрыв 2 рода |
|
|
|
убывает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
а точка
не принадлежит области определения, то
будем два интервала постоянной выпуклости
-
и
.
При
,
поэтому функция выпукла вверх,
,
поэтому функция выпукла вниз.
6) Найдём асимптоты.
Вертикальные:
,
так как функция терпит разрыв в этих
точках.
Найдём наклонную (горизонтальную) асимптоту.
Угловой коэффициент
прямой
и
число
найдём, применяя формулы:
;
.
Таким образом,
- горизонтальная асимптота.
7) Построим график функции.
6.5. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область
определения функции:
.
Точек разрыва нет.
2) Функция общего
вида (т.е. ни нечетная, ни четная,
непериодическая), т.к.
,
,
при
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью
:
точка
.
С осью
:
точка
.
Функция
при
и
при
.
-
Найдём стационарные точки. Так как
,
то в точках
и
,
производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
|
убывает |
|
|
0 |
точка минимума
|
|
|
|
возрастает |
|
|
0 |
точка максимума
|
|
|
|
убывает |
-
Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то в точках
и
,
вторая производная
не
существует, а в точке
она равна нулю.
Составим таблицу знаков второй производной.
|
|
|
|
|
|
|
выпукла вверх |
|
|
не существует |
|
|
|
|
выпукла вниз |
|
|
0 |
|
|
|
|
выпукла вверх |
|
|
не существует |
|
|
|
|
выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
Найдём наклонную асимптоту.
Угловой коэффициент
прямой
и
число
найдём, применяя формулы:
.
Таким образом,
прямая
- горизонтальная асимптота.
7) Построим график функции.
6.6. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область
определения функции:
.
Точек разрыва нет.
2) Функция не четная,
не нечетная
,
,
периодическая период
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью
точек пересечения нет.
С осью
:
точка
.
Функция
при
.
4) Найдём стационарные точки. Так как
,
то стационарными
будут точки
,
Составим таблицу
знаков производной и поведения функции
на интервале
.
|
|
|
|
|
|
|
убывает |
|
|
0 |
точка минимума
|
|
|
|
возрастает |
|
|
0 |
точка максимума
|
|
|
|
убывает |
Таким образом,
точки
- точки минимума, а
- точки максимума. На интервалах
функция убывает, а на интервалах
функция убывает (
).
5) Найдём возможные точки перегиба.
.
Тогда корнями
уравнения
будут точки
,
,
.
Составим таблицу
знаков второй производной на интервале
.
|
|
|
|
|
|
|
выпукла вверх |
|
|
0 |
точка перегиба
|
|
|
|
выпукла вниз |
Таким образом,
точки
,
- точки перегиба,
6) Асимптоты отсутствуют.
7) Построим график функции
6.6. Исследовать функцию и построить её график
.
1) Область
определения функции:
.
Точка
- точка разрыва 2 рода.
2) Функция общего
вида (т.е. ни нечетная, ни четная,
непериодическая), т.к.
,
,
при
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью
:
точки пересечения
,
.
С осью
:
точка
.
Функция
при
и
при
.
4) Найдем стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение
,
получаем стационарные точки
и
.
Кроме того, имеется еще одна критическая
точка
в которой производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
|
возрастает |
|
|
0 |
точка максимума
|
|
|
|
убывает |
|
|
|
точка разрыва 2 рода |
|
|
|
убывает |
|
|
0 |
точка минимума |
|
|
|
возрастает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то точек перегиба
нет, а промежутками постоянного
направления выпуклости будут интервалы
,
.
Составим таблицу знаков второй производной.
|
|
|
|
|
|
|
выпукла вверх |
|
|
|
разрыв 2 рода |
|
|
|
выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальная:
,
так как в этой точке функция имеет разрыв
2 рода.
Найдём наклонную
асимптоту. Угловой коэффициент прямой
и
число
найдём, применяя формулы:
, 
получаем наклонную
асимптоту
,
горизонтальных асимптот нет.
7) Построим график функции.
