Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную и обратно

Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную необходимо:

• двигаясь от запятой влево и вправо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр – для восьмеричной системы) или тетрадой (четверкой цифр – для шестнадцатеричной системы);

• удалить из записи числа незначащие нули.

Переведем число 251,34 (8) в двоичную систему.

2 5 1 , 3 4

010 101 001 , 011 100 = 10101001,0111 (2).

Аналогично, но разбивая число на тетрады, переведем 7A,B2 в двоичную систему:

7 A , B 2

0111 1010 , 1011 0010 = 1111010,1011001 (2).

Для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы необходимо:

• двигаясь от запятой влево и вправо разбить число на группы по три или четыре цифры, при необходимости добавляя незначащие нули;

• заменить каждую группу одной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Переведем число 1010111,10111 (2) в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

001 010 111 , 101 110 = 127, 56 (8),

0101 0111 , 1011 1000 = 57, B8 (16).

Перевод чисел в десятичную систему

Для перевода числа из системы счисления с основанием q в десятичную систему необходимо разложить число по степеням основания q, используя (1).

Примеры. 10111,11 (2) = 1 x 2⁴ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 1 x 2^-1 + 1 x 2^-2 = 23,75 (10).

174,2 (8) = 1 x 8² + 7 x 8¹ + 4 x 8⁰ + 2 x 8^-1 = 124,25 (10).

B5,8 (16) = 11 x 16¹ + 5 x 16⁰ + 8 x 16^-1 = 181,5 (10).

Перевод чисел из десятичной системы в другие

Для перевода чисел, состоящих из целой и дробной частей, из десятичной системы в другие системы, существуют два правила: одно – для перевода целой части числа, а другое – для дробной части.

Для перевода десятичного целого числа в систему с основанием q его надо последовательно делить на основание q (по правилам десятичной системы) до тех пор, пока очередное частное не будет меньше q. Число в системе с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности остатков от деления в порядке, обратном их получению, причем старшей цифрой числа будет последнее частное.

Пример. Переведем число 67 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

67 2 67 8 67 16

66 33 2 64 8 8 64 4

1 32 16 2 3 8 1 3

1 16 8 2 0

0 8 4 2

0 4 2 2

0 2 1

0

В результате вычислений мы получили представление числа 67(10) в других системах счисления:

67(10) = 1000011(2) = 103(8) = 43(16).

Альтернативный способ перевода основан на использовании следующего правила:

q^k = 1 000 … 00

k нулей. Например, 10³ = 1 000.

Выпишем несколько первых степеней двойки, восьми и шестнадцати:

2¹ = 2, 8¹ = 8. 16¹ = 16.

2² = 4, 8² = 64. 16² = 256.

2³ = 8, 8³ = 512.

2⁴ = 16,

2⁵ = 32,

2⁶ =64,

2⁷ = 128,

2⁸ =256,

2⁹ = 512,

2¹⁰ = 1024.

Пример. Переведем число 153 из десятичной системы в двоичную систему. Представим число 153 как сумму чисел, представляющих собой степени числа два:

153(10) = 128 + 16 + 8 + 1 = 2⁷ + 2⁴ + 2³ + 2⁰ = 10011001(2).

При переводе десятичной правильной дроби в систему с основанием q необходимо последовательно умножать эту дробь на основание q (по правилам десятичной системы), отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в системе с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений, в порядке их получения.

Число произведений определяется точностью перевода, т.е. сколько цифр после запятой надо иметь в новой системе счисления. Если необходимо иметь k цифр после запятой, то для получения результата без округления необходимо выполнить k умножений. Если необходимо получить результат с округлением, то умножение выполняют k+1 раз и далее производят округление по половине основания, используя последнюю полученную цифру.

Пример. Перевести число 0,453 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Точность перевода – три цифры после запятой.

0,453 0,453 0,453

2 8 16

0,906 3,624 7,248

2 8 16

1,812 4,992 3,968

2 8 16

1,624 7,936 15,488

2 8 16

1,248 7,488 7,808

Четвертое умножение выполнено с целью округления результата перевода.

В результате вычислений мы получили представление числа 0,453(10) в других системах счисления:

• без округления - 0,453(10) = 0,011(2) = 0,347(8) = 0,73F(16);

• с округлением - 0,453(10) = 0,100(2) = 0,35(8) = 0,74(16) (добавлена 1 к предыдущему разряду).