1.2. Масса системы. Центр масс.

Движение системы, кроме действующих сил, зависит от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образовавших систему.

.

В однородном поле тяжести, для которого , вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести.

(1)

m_к – массы материальных точек,

х_к, y_к, z_к – координаты этих точек.

Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (1), называется центром масс.

Если положение центра масс определять его радиусом–вектором , то из равенств (1)

, (1^/)

где – радиусы–векторы точек, образовавших систему.

В однородном поле тяжести положения центра масс и центра тяжести совпадают. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующих сил тяжести – имеет только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести.

Понятие же о центре масс, как о характере распределения масс в системе материальных точек или тел, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел.

2. Теорема о движении центра масс системы.

2.1. Дифференциальные уравнения движения системы.

Рассмотрим систему, состоящую из «n» материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой m_к. Обозначим равнодействующие всех приложенных к точке внешних сил через , а равнодействующие всех внутренних сил - . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики

(2)

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

(3)

Эти уравнения, из которых можно определить закон движения каждой точки системы, называется дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Уравнения (3) являются дифференциальными, так как . Полное решение основной задачи динамики для системы состояла бы в том, чтобы, зная заданные силы, проинтегрировать соответственные дифференциальные уравнения и определить закон движения каждой из точек системы в отдельности.

Однако такой путь обычно не применяют по двум причинам. Во-первых, слишком сложен математически. Во-вторых, в большинстве случаев при решении задач механики бывает достаточно знать некоторые суммарные характеристики движения системы в целом, а не движения каждой из ее точек. Эти суммарные характеристики определяются с помощью общих теорем динамики.

2.2. Теорема о движении центра масс.

Сложим почленно левые и правые части уравнения (3).

(4)

Преобразуем левую часть. Из формулы (1^/) имеем

Дважды продифференцируем

или

, (5)

где - ускорение центра масс системы.

Так как по свойству внутренних сил системы , то подставляя все найденные значения в равенство (4) получим:

(6)

Уравнение (6) и выражает теорему о движении центра масс системы. Данная теорема может быть сформулирована: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства (6) на оси координат, получим:

(6^/)

Значение теоремы состоит в следующем:

1). Из уравнения (5^/) видно, что решения, которые мы получим, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела.

2). Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключить из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.