Розділ 5. Похідна та її використання План

1. Поняття похідної

2. Фізичний зміст похідної

3. Геометричний зміст похідної

4. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції

5. Правила диференціювання

6. Таблиця похідних

7. Похідна складних функцій

8. Використання похідних для дослідження функцій та побудови їх графіків

9. Приклади для розв’язування

1. Поняття похідної функції.

Нехай задана функція визначена на відрізку .

Візьмемо два значення та з області визначення функції.

Різниця двох значень аргументу називається приростом аргументу:

і значення функції в точках та .

Різниця двох значень функції називається приростом функції:

.

Границя відношення приросту функції до приросту аргумента, якщо останній прямує до нуля, називається похідною функції в точці :

2. Фізичний зміст похідної:

1. Миттєва швидкість нерівномірного прямолінійного руху є похідна від функції, яка виражає залежність пройденого шляху від часу :

2. Сила струму є похідна від функції, яка виражає залежність кількості електрики , яка протікає за час : якщо , то .

3. Кутова швидкість обертання тіла навколо осі є похідна від функції, яка виражає залежність кута повороту тіла відносно осі від часу :

якщо , то .

4. Лінійна густина матеріальної лінії в даній точці є похідна від функції, яка виражає залежність маси від довжини цієї лінії:

якщо , то

5. Теплоємність тіла при даній температурі є похідна від функції, яка виражає залежність кількості тепла від температури :

якщо , то .

6. Швидкість хімічної реакції є похідною від функції, яка виражає залежність кількості речовини , яка вступила в реакцію від часу :

якщо , то

3. Геометричний зміст похідної.

Граничне положення січної при прямуванні точки до точки

по кривій називають дотичною до кривої в точці М

Нехай крива, задана рівнянням , має дотичну в точці М (х, у).

Геометричний зміст похідної функції в певній точці : похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х:

4. Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої.

Нехай функція у = f (t) означена і неперервна на деякому проміжку [a; b]..

Рівняння дотичної:

де - значення функції в точці

Нормаллю до графіка функції в точці М₀ називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці.

Рівняння нормалі:

Приклад. Знайти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х² у точці з абсцисою х₀ = – 3.

1. знаходимо похідну від заданої функції ;

2. знаходимо значення похідної в точці х₀ = – 3: ;

3. знаходимо значення функції в точці х₀ = – 3: .

4. рівняння дотичної запишеться так:

5. рівняння нормалі запишеться так:

5. Основні правила диференціювання.

Якщо та - деякі диференційовані функції, то

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Таблиця похідних

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

7. Похідна складної функції

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

7. Загальна схема побудови графіків функцій:

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність та непарність.

3. Визначити точки перетину з осями координат ( якщо це не викликає труднощів).

4. Знайти асимптоти графіка функцій:

Вертикальна асимптота: х=а, за умови, що

Похила асимптота , де ,

5. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції:

• Знайти похідну функції

• Прирівняти похідну до нуля та знайти можливі точки екстремуму функції( похідна в цих точках дорівнює нулю або не існує)

• Визначити знак похідної на кожному з проміжків:

Знайти проміжки опуклості та точки перегину.

• Знайти другу похідну

• Прирівняти її до нуля та знайти точки перегину: .( похідна в цих точках дорівнює нулю або не існує)

• Визначити напрям опуклості:

Побудувати графік функції, використовуючи результати дослідження.