Задачи для самостоятельной работы

Найти решения уравнений в виде степенных или обобщенно степенных рядов.

92. . 93. .

94. . 95. .

96. . 97. .

98. . 99. .

100. .

5. Метод малого параметра.

Метод малого параметра может быть использован при нахождении периодических решений уравнений вида:

(117)

где F – известная периодическая функция по t, а  - малый параметр. Его суть заключается в том, что решение уравнения (117) ищется в виде сходящегося при малых значениях  (малых по сравнению с единицей, то есть ) степенного ряда по :

(118)

Далее этот ряд подставляется в уравнение (117) после чего, необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях. При этом постоянные интегрирования, возникающие при решении уравнений относительно функций , находятся из условий периодичности функций, заключающихся в отсутствии резонирующих членов в правых частях исходных дифференциальных уравнений.

Если правая часть уравнения (117) явно от t, то период решения заранее не известен. В таком случае в уравнении (117) следует сделать замену

(119)

где  - новая независимая переменная, и искать решение периода . При этом коэффициенты определяются из условий периодичности решений

Пример 54. С помощью малого параметра найти приближенно периодические решения уравнения с периодом, равным периоду правой части уравнения:

.

▲ Согласно методу малого параметра, периодическое решение ищем в виде (118), где - 2 -периодические функции. Подставляя ряд (118) в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений:

Найдем общее решение первого уравнения. Запишем сначала общее решение, соответствующего ему однородного уравнения, в соответствии с корнями характеристического уравнения

,

а затем найдем методом неопределенных коэффициентов его частное решение

подставив полученное частное решение и его вторую производную в неоднородное уравнение найдем неопределенные коэффициенты

.

Таким образом, частное решение будет иметь вид

,

тогда общее решение будет выглядеть следующим образом

.

Поскольку требуется найти 2 -периодическое решение, то в последнем равенстве следует положить . Следовательно,

.

Принимая во внимание это значение, второе уравнение запишем в виде

,

и его общее решения будет иметь вид:

.

Отсюда в силу требования 2 -периодичности функции х₁ имеем:

.

Принимая во внимание найденные значения х₀ и х₁ третье уравнение системы принимает вид: .

Решая это уравнение, получим

.

Подставляя в исходное уравнение, приходим к искомому решению

▲

Пример 55. С помощью малого параметра найти приближенно периодическое решение уравнения:

.

▲ Поскольку правая часть от t явно не зависит, то сначала сделаем замену

где b_i – постоянные, подлежащие определению. Тогда получим уравнение

Приближенное решение этого уравнения будем искать в виде ряда

Подставляя этот ряд в уравнение, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений

Так как первое уравнение системы является однородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами, то его решение достаточно легко получить

Подставив это решение во второе уравнение, получим

Поскольку мы ищем периодические решения, то в этом уравнении должны положить . Отсюда следует, что . Тогда из преобразованного второго уравнения системы нетрудно найти, что

Учитывая найденные , третье уравнение системы можно представить в виде:

Отсюда видим, что условием отсутствия резонирующих членов является выполнение равенств: . Таким образом,

и

▲