2.3. Плоское движение твердого тела

П

Рис.2.6

лоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Таким движением, например, является качение цилиндра. Наиболее удобным является разбиение такого движения на поступательное, происходящее со скоростью центра масс , и вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через этот центр (рис.2.6). В этом случае, скорости точек цилиндра можно представить как обусловленные поступательным движением со скоростью и вращением вокруг мгновенной оси с угловой скоростью . Линейная составляющая скорости, обусловленная вращением, определяется векторным произведением , где - радиус-вектор, проведенный из точки О в данную точку тела. Следовательно, для скорости произвольной точки тела относительно неподвижной системы отсчета получается формула

. (2.13)

2.4. Примеры решения задач на кинематику вращательного движения

1. Якорь электродвигателя, вращающийся с частотой n=100с^-1, после выключения тока остановился, сделав N=628 оборотов. Определить угловое ускорение якоря.

Решение

Кинематические уравнения вращательного движения якоря, считая его равнозамедленным, имеют следующий вид

, .

Учитывая, что , , а количество оборотов связано с углом поворота соотношением , получим

и .

Решая данную систему уравнений относительно , найдем

рад/с².

2. Колесо турбины раскручивается из состояния покоя с постоянным угловым ускорением . Чему равно полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R=0,5м от оси вращения, через 5с после начала движения турбины? Сколько оборотов успеет сделать турбина к этому времени?

Решение

Полное ускорение точки при вращательном движении представим как векторную сумму тангенциального и нормального ускорений

,

где и .

Угловую скорость определим, интегрируя угловое ускорение

.

Постоянную интегрирования С₁ находим с помощью начального условия при . Тогда С₁=0, .

Модуль полного ускорения рассчитаем по формуле

м/с².

Направление вектора полного ускорения выразим с помощью тангенса угла между векторами тангенциального и нормального ускорений

.

Количество оборотов турбины связано с углом поворота соотношением , в котором угол поворота находим, интегрируя угловую скорость

.

С учетом начальных условий: при , С₂=0, получим

.

3. Шар радиуса R катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания с ускорением а. Определить скорость и ускорение точек А и В (рис.2.7) к моменту времени t после начала движения.

Решение

Движение тела считаем плоским. В соответствии с (2.49) скорость взятой точки равна

,

г

Рис.2.7

де - скорость поступательного движения шара, - угловая скорость вращения шара относительно оси, проходящей через центр шара, - радиус-вектор точки относительно центра.

К моменту времени t

, .

Модуль векторного произведения определяет величину линейной скорости вращения точки, направленной по касательной к окружности, и равной .

Для точки А и имеют одно направление, поэтому

, тогда как для точки В они взаимно перпендикулярны и тогда (рис.2.7а).

Теперь определим ускорения данных точек. Нормальное ускорение точек на линии круга шара

.

Учитывая направления нормальных ускорений точек А и В (рис.2.7б) их полные ускорения будут равны

, .