10. Статистические распределения в молекулярной физике Лекция №16

10.1. Понятие статистического распределения, функция распределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям.

10.2. Барометрическая формула.

10.3. Распределение Больцмана.

10.1. Понятие статистического распределения, функция распределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям

В соответствии с молекулярно-кинетической теорией молекулы газа совершают хаотическое движение. Это позволяет предположить, что в состоянии термодинамического равновесия все направления скоростей молекул в пространстве равновероятны, хотя значения этих скоростей не являются равновероятными (опыт Штерна).

Разобьем общее число молекул N на небольшие группы из dN_ молекул, значение скорости которых лежат в пределах от  до  + d. Тогда dp = dN_ /N это вероятность того, что молекула газа имеет скорость в заданном интервале от  до  + d (или доля частиц от общего числа скорости которых лежат в интервале от  до  + d). Согласно теории вероятности, плотность вероятности (а в статистической физике ее называют функцией распределения) будет иметь

. (10.1.1)

В каждую такую группу при заданной температуре Т попадает число молекул

dN_ = Nf ()d. (10.1.2)

Функция f (), зависящая от модуля скорости , называется функцией распределения молекул по скоростям. В 1859 г. Джеймс Максвелл получил в явном виде эту функцию. Функция распределения молекул газа по скоростям (функция распределение Максвелла) имеет вид

. (10.1.3)

Число молекул, скорости которых имеют значения, заключенные в пределах от  до  + d равно

. (10.1.4)

А вероятность того, что молекула газа имеет скорость в заданном интервале от  до  + d (или доля частиц от общего числа, скорости которых лежат в заданном интервале от  до  + d) определяется выражением

. (10.1.5)

График функции распределения молекул газа по скоростям представлен на рис. 10.1.1. Скорость, отвечающая максимуму функции распределения молекул газа по скоростям, называют наиболее вероятной скоростью. Этой скорость обладает наибольшее количество частиц при заданной температуре Т. Найдем наиболее вероятную скорость. Для этого возьмем производную по  от выражения (10.1.3) и приравняем к нулю.



  . (10.1.6)

. (10.1.7)

Найдем среднюю арифметическую скорость молекул газа:

. (10.1.8)

Интегрирование данного выражения по частям приводит к тому, что

. (10.1.9)

Найдем среднее значение квадрата скорости молекул газа:

. (10.1.10)

Корень квадратный из среднего значения квадрата скорости называется средней квадратичной скоростью, и она равна

 . (10.1.11)

Для определения доли р частиц, скорости которых лежат в некотором интервале скоростей от ₁ до ₂ , необходимо вычислить интеграл

. (10.1.12)

С точки зрения математики величина р − это площадь под криволинейной трапеции ограниченной интервалом от ₁ до ₂  (рис. 10.1.2).

Вероятность того скорость молекулы газа лежит в интервале от 0 до  равна

. (10.1.13)

Условие (10.1.13) является условие нормировки для функции распределение Максвелла.

Так как в конечных пределах вычисление интеграла (10.1.12) затруднено, то используют приближенные методы расчета. Для расчетов часто используют распределения Максвелла по относительным скоростям. Относительной скоростью молекулы называют величину u = /_в . Чтобы получить распределения Максвелла по относительным скоростям перейдем от переменной к переменной u. Произведя подстановку , и d = du _в = в выражении (10.1.5) получим

. (10.1.14)

Исходя из распределения Максвелла по скоростям, можно также найти распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения. Для этого перейдем от переменной к переменной . Произведя подстановку , и в выражении (10.1.5) получим

, (10.1.15)

где dN_ /N − доля молекул, кинетическая энергия поступательного движения которых имеет значения, заключенные в пределах от  до  + d, или вероятность того, что кинетическая энергия поступательного движения молекулы имеет значение, заключенное в пределах от  до  + d.

Выражение (10.1.15) называют распределением молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения.

С помощью этой функции можно вычислить среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы

. (10.1.16)

Полученный результат согласуется с законом Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы.