Динамика криволинейного движения

1. Автомобиль массой М = 3 · 10³ кг движется с постоянной скоростью υ = 36 км/ч по мосту ра­ди­усом кривизны R = 60 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α = 10° с вер­ти­калью, если а) мост выпуклый; б) мост вогнутый.

2. Через реку шириной d = 100 м переброшен выпуклый мост, имеющий форму дуги окружности. Высшая точка моста поднимается над берегом на Н = 10 м. Максимально воз­мож­ная нагрузка на мост F = 4,5 · 10³ Н. При каких скоростях υ автомобиль массы m = 500 кг может пройти через мост?

3. Чему равен минимальный радиус дуги, кото­рую может описать мотоциклист, если его скорость υ = 21 м/с, а коэф­фи­циент трения скольжения между шиной и дорогой μ = 0,3?

4. К краю диска радиуса R = 10 см прикреплен шарик на нити длиной L = 6 см. При вращении диска в горизонтальной плоскости нить отклоняется от вертикали на угол α = 45˚. Определить угловую скорость ω диска.

5. Груз массой m = 100 г, подвешенный на нити длиной ℓ= 40 см, откло­ни­ли от положения равновесия на некоторый угол и отпустили. Найти на­тя­жение нити Т в тот момент, когда груз будет иметь скорость υ = 2 м/с, а угол отклонения от вертикали α = 60˚.

6. Шарик, подвешенный на нити длиной ℓ = 14 см, вращается по окруж­нос­ти в горизонтальной плос­кос­ти с частотой n = 3 об/с. На какой угол от вертикали отклоняется при этом нить?

7. На проволочное кольцо радиусом R нани­за­на маленькая бусинка. Коль­цо вращается вокруг верти­каль­ной оси, совпадающей с его диа­мет­ром (рис.11). Угловая скорость вращения ω. Найти положение равновесия бусинки.

8. Два тела массой m₁ и m₂ привязаны к нити, закрепленной своим концом в некоторой точке, и находятся на гладком столе. Расстояния от них до точ­ки закрепления равны ℓ₁ и ℓ₂ соответственно. Система вращается в гори­зон­тальной плоскости вокруг оси, проходящей через за­креп­лен­ную точку, с угловой скоростью ω. Найти силы натяжения Т₁ и Т₂ нитей.

9. Найти ускорение g силы тяжести на высоте h = 20 км над Землей, если ускорение на поверхности Земли g_о = 9,81 м/с², а радиус Земли R = 6400 км.

10. Найти зависимость веса тела Р на поверхности Земли от гео­гра­фи­чес­кой широты. Считать Землю шаром.

11. Какой продолжительности Т должны были бы быть сутки на Земле, чтобы тела не имели веса?

12. Во сколько раз n период обращения спутника, движущегося на рас­сто­я­нии r = 21600 км от поверхности Земли, больше периода обращения спутника, движущегося на высоте h = 600 км от поверхности?

13. Найти массу Солнца М по постоянной тяготения γ, периоду об­ра­ще­ния Т Земли вокруг Солнца и расстоянию L = 1,5 · 10¹¹ м от Земли до Солнца.

14. Двойная звезда вращается вокруг общего центра масс с периодом Т = 10 земных суток. Массы отдельных звезд m₁ = 10³² кг и m₂ = 3 · 10³² кг. Найти расстояние R между звездами.

15. Вычислить плотность ρ шарообразной планеты, если спутник дви­жет­ся вокруг нее по круговой орбите с периодом Т = 4 ч на расстоянии от по­верх­ности планеты, составляющем n = ½ часть ее радиуса.

16. На какую высоту Н надо запустить спутник в экваториальной плос­кос­ти, чтобы он все время находился над одной и той же точкой земной поверхности?

17. Какова первая космическая скорость υ₁ для планеты с такой же плот­ностью, как у Земли, но радиус которой в n = 2 раза меньше, чем у Земли?

18. Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, рас­по­ло­жен­ным в одной плоскости, со скоростями υ₁ = 7,8 км/с и υ₂ = 7,7 км/с. Найти интервал времени τ, по истечении которого спутники будут нахо­дить­ся на минимальном расстоянии друг от друга.

19. Спутник массой М = 200 кг движется по круговой орбите вокруг Земли на расстоянии от поверхности много меньшем радиуса Земли. На сколько Δr изменится радиус орбиты, если из спутника произвести вы­стрел? Масса пули m = 2 г, ее скорость относительно спутника u = 1 км/с и противоположна по направлению скорости спутника.

20. Свинцовый шар радиусом R = 50 см имеет внутри сферическую по­лость радиусом r = 5 см, центр которой находится на расстоянии ℓ = 40 см от центра шара. С какой силой F будет притягиваться к шару маленькое тело массой m = 5 г, находящееся на расстоянии L = 80 см от центра шара, если угол между линией, соединяющей центры шара и полости, составляет α = 60˚ с линией, соединяющей центр шара и тело.

Задание 5