2. Игровые модели согласования объема производства и сбыта продукции.

В условиях рыночной экономики объемы производства продукции фирмой определяются как ее производственными возможностями, так и сбытом продукции. По мере развития производства и рынка определяющим становится сбыт продукции, рынок производителя заменяется на рынок потребителя. Сбыт продукции является достаточно точным отражением спроса на продукцию. Однако фирма, как правило, не располагает достаточно достоверными данными о спросе на ее продукцию. Прогнозирование спроса на продукцию фирмы является одной из важнейших задач экономики фирмы. Прогноз спроса неразрывно связан с периодом планирования хозяйственно-финансовой деятельности фирмы. Период планирования различен для фирм, занимающихся производством товаров народного потребления, и фирм, специализирующихся на производстве продукции с длительным производственным циклом. Уже это определяет специфику подхода к прогнозированию спроса. Если считать, что математические модели теории игр обычно используются для текущего прогнозирования, то будем считать, что знать спрос на продукцию фирмы нужно, хотя бы на период времени до одного года. Но даже в рамках этого предположения предсказать спрос на продукцию фирмы на более коротких периодах времени весьма трудно. Спрос определяется видом продукции и в соответствие с этим сезонным потреблением этой продукции. Таким образом, на продукцию (если не считать простейший вариант – продукцию производит монополист и он определяет цены и спрос, регулируя предложение) является случайной величиной. Случайный спрос может выражаться некоторыми вероятностными величинами или отсутствием таковых – неопределенной величиной. Если исходить из этих положений, то для согласования интересов между производством и спросом (ликвидации конфликтности между ними) становятся необходимым использование адекватного математического аппарата, а именно теории игр.

Предположим, что фирма может производить n видов товаров одной номенклатурной группы, которые продаются на рынке. Если товар вида j, будет пользоваться спросом, то фирма от его реализации получит прибыль . Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то фирма будет нести убыток . Будем считать, что убыток есть затраты на производство продукции, ее хранение, порчу товара и т.д. Убытки от отсутствия сбыта продукции существенно больше, чем прибыль от реализации продукции, т.е..Поэтому, можно положить =0, i=j. Требуется определить такой вид товара, который необходимо производить.

Будем считать, что спрос неизвестен. Тогда моделью рассматриваемого конфликта будет игра, в которой в качестве одной из конфликтующих сторон выступает фирма (игрок I), а в качестве другой – потребительский спрос (игрок II). Каждая из сторон имеет n-стратегий: i-я стратегия игрока I – производство i-того вида изделия; j-я стратегия игрока II – спрос на j-й вид продукции. В этом случае конечная антагонистическая игра, задаваемая матрицей игрока I:

и будет теоретико-игровой моделью рассматриваемого конфликта.

Предположим, что матрица H имеет вид:

Для реализации игры используем алгоритм, изложенный в п. 3.4

В соответствии с этим алгоритмом последовательность действий такова:

1. Проверка выполнения неравенства

Подставив соответствующие значения элементов матрицы H в первую часть неравенства, получим:

для к=3, -36*(-0,057)>1;

для к=4, -40*(-0,085)>2;

для к=5, -48*(-0,100)>3.

Так как это условие выполняется, то решение игры ищется в смешанных стратегиях.

1. Смешанная стратегия игрока I определяется в соответствии с названным алгоритмом равенством:

т.е.

Следовательно, интересующая нас оптимальная смешанная стратегия игрока I

.

Вероятности можно трактовать как доли каждого вида товара, производимого фирмой. Если фирма может произвести и реализовать весь ассортимент данной номенклатурной группы изделия в объеме 1000 ед., то согласно стратегии следует произвести изделий 1-го вида 230 шт., 2-го вида – 210 шт., 3-го вида – 210 шт., 4-го вида – 190 шт. и 5-го вида – 160 шт.

В этом случае в соответствии с ценой игры

убытки составят 30,6 у.е.

3. Выгодность производства изделий определяется путем сравнения прибыли от реализации продукции и убытков (цены игры), т.е. , где -прибыль на единицу i-го вида продукции.

Замечание: Можно построить матричную игру, учитывающую как убытки от отсутствия спроса на продукцию, так и прибыль от реализации продукции. Платежная матрица будет иметь вид:

Реализацию этой игры можно осуществить на основе общего алгоритма, что сделать существенно сложнее.

По мере изучения спроса у фирмы появляется дополнительная информация о спросе на отдельные виды изделий. Эта информация касается конкуренции отдельных изделий на рынке сбыта продукции: часть продукции может иметь достаточный сбыт, другая часть – средний и , наконец, остальная – низкий. Возможны и другие более точные градации спроса. Для определенности будем считать, что спрос имеет эти три градации. Этот спрос может быть оценен определенными показателями, например, средним сбытом каждого вида изделий в объеме продаж в натуральном выражении или в объеме выручки за исследуемый период. Такая информация о спросе на продукцию снижает неопределенность спроса и может быть учтена при разработке стратегий фирмы и природы – спроса. У фирмы остаются те же n стратегий по числу возможно производимых видов продукции, у спроса появляются новые стратегии, их число равно трем, по числу состояний спроса.

Необходимо определить, какой вид продукции следует производить, если при прочих равных условиях производство этих видов продукции зависит главным образом от спроса, а план производства должен обеспечить наибольшую прибыль. Если фирма располагает достоверными статистическими данными о прогнозе спроса, то оптимальный план производства довольно просто получить, основываясь на максимизации математического ожидания прибыли. Но так как мы такой надежной информацией не располагаем, то необходимо планирование осуществлять с учетом наиболее неблагоприятного спроса. Последнее обстоятельство допускает трактовку данной ситуации следующим образом: с одной стороны (игрок I) заинтересован в выпуске такой продукции, которая обеспечивает максимум прибыли, с другой стороны – спрос (игрок II), от которого зависят объёмы производства, преследует прямо противоположные условия. Принятие спроса за противника равносильно планированию производства с учетом наиболее неблагоприятных условий, а если они благоприятны, то полученный план производства даст возможность увеличить доход.

В соответствии с изложенным матрица игры фирмы с рынком – спроса приобретает следующий вид:

где-объем прибыли на единицу продукции i-го вида; -объем производства i-го вида продукции при j-м состоянии спроса.

Следовательно, для построения матрицы Н необходимо знание такой условной информации, которая приведена в таблице 5.1

Таблица 5.1

Объем производства продукции при различных вариантах спроса, штуки за период времени

Вид продукции	Вариант спроса			Прибыль на единицу продукции
	низкий	средний	высокий
1	20	5	15	2
2	7,5	12,5	5	4
3	0	7,5	10	8

Матрица выигрышей игрока I

Легко установить, что матрица H не имеет седловой точки, и поэтому оптимального стратегия игрока I оказывается смешанной.

Задачи линейного программирования, определяющие стратегии игроков, имеют вид:

-для игрока I

-для игрока II

Решение первой задачи , второй задачи -

На основе решения задач линейного программирования нетрудно определить цену игры и оптимальные стратегии игроков:

Цена игры гарантирует получение прибыли при всех вариантах спроса не меньше 31,5 руб. за единицу.

Теперь определяют количество изделий, которое следует производить фирме, чтобы получить гарантированную среднюю прибыль 31,5 руб. на изделие: