Теоретические вопросы к экзамену по дисциплине « Математика» для студентов

1. Курса очной формы обучения. ( 1 семестр )

1. Монотонность функции. Исследование функции на монотонность.

2. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум.

3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

4. Формула Тейлора

5. Вектора и действия над ними.

6. Действия над векторами заданными в базисе.

7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

8. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении.

9. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

10. Общее уравнение прямой и его исследование.

11. Угол между прямыми.

12. Общее уравнение плоскости.

13. Матрица. Действие над матрицами.

14. Определитель. Свойства определителей.

15. Теорема Крамера.

16. Метод Гаусса. Метод Жордано-Гаусса. Сходство и различие.

17. Понятие функции и её предела.

18. Теоремы о пределах.

19. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.

20. Первый замечательный предел.

21. Непрерывные функции и действия над ними.

22. Асимптоты графика функции.

23. Свойства непрерывных функций.

24. Механический смысл производной.

25. Геометрический смысл производной.

26. Экономический смысл производной.

27. Дифференциал функции, геометрический смысл и применение дифференциала.

28. Теорема Ферма.

29. Теорема Ролля.

30. Теорема Лагранжа

Материалы к самостоятельным и контрольным работам по математике выполняемыми студентами первого курса всех специальностей в первом-втором семестрах. Каждая работа включает 30 вариантов. Все варианты работ примерно равноценны по сложности.

Самостоятельные работы рассчитаны на 45 мин., а контрольная работа – на 1,5 часа.В структуру самостоятельных и контрольных работ включены следующие темы, изучаемые в первом семестре учебного года:

1. Элементы линейной алгебры Т-1-С

2. Элементы аналитической геометрии Т-2-С

3. Введение в анализ функции одной переменной Т-3-С

4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Т-4-К

Тема 1. Линейная алгебра.

Опр. Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица А=

Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов.

Определителем квадратной матрицы называется число получаемое по определенному правилу.

; ;

А=, М=- минор элемента , А= (-1)- алгебраическое дополнение элемента

Опр. Матрица Аявляется обратной к матрице А, если А× А= А×А=Е, где Е – единичная матрица.

Матрицы являются транспонированными, если в них поменять местами строки и столбцы.

Алгоритм поиска обратной матрицы А:

1. Вычислить ∆, если ∆=0, то обратной матрицы нет.

2. Найти транспонированную А

3. Составить присоединенную матрицу Аиз алгебраических дополнений элементов матрицы А .

4. Составить обратную матрицу Апо формуле: А=

Пример: найти обратную матрицу А, если А=

1. ∆=

2. А=

3.

А₌ 4. А₌

_{Вычисление определителей.}

_{1. Приведением к треугольному ( диагональному ) виду: определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.}

_{2. Формула Лапласа: определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.}

_{3. Метод Крамера.}

х₁+2х₂+х₃= 1

2х₁+3х₂+2х₃= 2

х₁-х₂+3х₃= 0

∆

∆х

∆х

∆х

_(1.5;0;-0.5)

_{4. Метод Гаусса.}

х₁+2х₂+х₃= 1

2х₁+3х₂+2х₃= 2

х₁-х₂+3х₃= 0

_{Расширенная матрица этой системы имеет вид:}

х₁+2х₂+х₃= 1

-х₂= 0 х₂=0, х₃= - 0.5, х₁=-20 - (-0.5) + 1=1.5

2х₃= -1

Т-1 С-1-1

2 0 5

1). Найти А^-1 , если А = 1 3 16

1 -1 10

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 2 3

∆₄ = 1 1 -2 -2

3 1 2 4

0 6 -1 5

Т-1 С-1-2

2 3 1

1). Найти А^-1 , если А = 0 4 -2

1 3 -1

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

0 0 1 4

∆₄ = 1 -1 0 3

-1 2 -1 1

0 1 0 4

Т-1 С-1-3

0 2 3

1). Найти А^-1 , если А = 2 3 4

3 4 5

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

2 3 -1 4

∆₄ = 3 -1 2 4

1 1 3 -2

-1 2 3 0

Т-1 С-1-4

1 2 8

1). Найти А^-1 , если А = 3 2 10

4 3 4

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 2 3 4

∆₄ = -1 3 0 2

2 1 3 5

3 -4 1 0

Т-1 С-1-5

3 2 2

1). Найти А^-1 , если А = 1 -5 -8

4 2 1

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 5 -1

∆₄ = 2 3 0 1

-1 2 4 0

3 1 -5 2

Т-1 С-1-6

7 -3 5

1). Найти А^-1 , если А = 5 2 1

2 -1 3

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

2 -1 0 1

∆₄ = 3 5 -1 1

2 0 3 5

6 4 3 -1

Т-1 С-1-7

3 2 1

1). Найти А^-1 , если А = 2 3 1

2 1 3

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 3 4 1

∆₄ = -1 2 0 5

5 -7 -10 4

5 -2 -6 0

Т-1 С-1-8

1 -2 3

1). Найти А^-1 , если А = 2 3 -4

1 -2 -5

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

3 -2 1 1

∆₄ = 2 0 3 1

1 0 2 -2

1 1 3 2

Т-1 С-1-9

4 -3 2

1). Найти А^-1 , если А = 2 5 -3

5 6 -2

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

3 -1 4 2

∆₄ = 5 2 0 1

0 2 1 -3

6 -2 9 8

Т-1 С-1-10

1 1 2

1). Найти А^-1 , если А = 2 -1 2

4 1 4

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

2 -1 1 0

∆₄ = 0 1 2 -1

3 -1 2 3

3 1 6 1

Т-1 С-1-11

2 -1 -1

1). Найти А^-1 , если А = 3 4 -2

3 -2 4

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

2 3 -3 4

∆₄ = 2 1 -1 2

6 2 1 0

2 3 0 5

Т-1 С-1-12

3 4 2

1). Найти А^-1 , если А = 2 -1 -3

1 5 1

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 1 2

∆₄ = 2 -1 3 -8

1 2 10 0.5

3 1 2 0

Т-1 С-1-13

1 1 -1

1). Найти А^-1 , если А = 0 3 -2

3 4 1

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 1 2

∆₄ = 2 -1 3 -8

1 2 10 4

3 1 2 0

Т-1 С-1-14

1 -1 1

1). Найти А^-1 , если А = 2 1 -1

3 -1 2

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 0 2

∆₄ = 2 -1 3 -8

1 2 10 -4

3 1 2 0

Т-1 С-1-15

1 -1 1

1). Найти А^-1 , если А = 2 1 -1

0 -1 2

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 0 2

∆₄ = 2 -1 3 -8

1 2 10 -4

2 3 2 0

Т-1 С-1-16

1 1 1

1). Найти А^-1 , если А = 2 2 -1

3 0 2

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 0 2

∆₄ = 2 -2 3 -8

1 2 0 -4

2 1 2 0

Т-1 С-1-17

- 2 -1 -1

1). Найти А^-1 , если А = 3 4 -2

3 -2 4

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 3 -3 4

∆₄ = 2 1 -1 2

3 2 0 0

2 3 0 1

Т-1 С-1-18

- 2 -1 -1

1). Найти А^-1 , если А = 0 4 -2

3 1 - 4

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 3 5 4

∆₄ = 2 1 -1 2

3 2 0 3

2 3 0 5

Т-1 С-1-19

1 -2 -3

1). Найти А^-1 , если А = 0 2 -2

3 2 - 4

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 3 3 0

∆₄ = 2 1 -1 0

3 2 1 3

1 3 0 1

Т-1 С-1-20

- 1 -1 -1

1). Найти А^-1 , если А = 2 4 0

3 - 1 - 2

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 1 4

∆₄ = 2 1 -1 2

3 2 0 3

4 3 0 5

Т-1 С-1-21

2 1 5

1). Найти А^-1 , если А = 1 3 12

1 0 10

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 2 3

∆₄ = 1 1 -2 1

3 1 2 4

0 0 -1 5

Т-1 С-1-22

2 3 1

1). Найти А^-1 , если А = 0 1 -2

1 4 -1

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

0 0 1 4

∆₄ = 1 -1 0 3

-1 0 -1 1

2 3 0 4

Т-1 С-1-23

0 2 1

1). Найти А^-1 , если А = 2 3 - 4

3 0 5

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

2 3 -1 4

∆₄ = 3 -1 2 1

1 0 0 -2

-1 2 1 0

Т-1 С-1-24

1 2 6

1). Найти А^-1 , если А = 3 2 - 1

4 3 0

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 2 3 3

∆₄ = -1 3 0 2

2 1 3 1

0 -4 1 0

Т-1 С-1-25

3 -2 2

1). Найти А^-1 , если А = 1 1 0

4 2 -1

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 0 3 -1

∆₄ = 2 3 0 1

-1 2 - 4 0

1 1 -5 2

Т-1 С-1-26

9 -2 -4

1). Найти А^-1 , если А = 1 2 -1

-12 1 7

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

3 -1 0 1

∆₄ = 3 4 -1 1

2 0 3 5

2 0 3 -1

Т-1 С-1-27

3 2 2

1). Найти А^-1 , если А 1 3 1

5 3 4

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 3 4 1

∆₄ = -1 2 0 5

5 2 -1 4

5 0 -3 0

Т-1 С-1-28

1 -2 3

1). Найти А^-1 , если А = 2 1 -4

1 2 0

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

1 -2 1 -1

∆₄ = 2 0 3 1

1 0 2 -2

1 1 3 1

Т-1 С-1-29

4 -3 2

1). Найти А^-1 , если А = 2 1 0

3 2 1

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

3 -1 4 2

∆₄ = 5 2 0 1

0 0 1 -3

-2 -2 9 1

Т-1 С-1-30

1 1 -2

1). Найти А^-1 , если А = 2 -1 0

3 1 4

2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :

2 -1 1 0

∆₄ = 0 1 2 -1

3 -1 0 0

4 1 4 1

Т-1 С-2-1

1). Решить систему методом Крамера :

3х₁+2х₂+х₃= 5

2х₁+3х₂+х₃= 1

2х₁+х₂+3х₃= 11

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁ +2х₃-х₄= 2

-х₂ +х₄= -2

-х₁ -х₃ = 1

-х₂+2х₃ = 0

Т-1 С-2-2

1). Решить систему методом Крамера :

х₁-2х₂+3х₃=6

2х₁+3х₂-4х₃=20

3х₁-2х₂-5х₃=6

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁-2х₃=2

-х₂+2х₃+х₄=0

-х₁+2х₂+3х₄=4

х₂+4х₄=6

Т-1 С-2-3

1). Решить систему методом Крамера :

4х₁-3х₂+2х₃= 9

2х₁+5х₂-3х₃= 4

5х₁+6х₂-2х₃= 18

2). Решить систему методом Гаусса :

х₃+4х₄= 1

х₁-х₂+3х₄= -2

-х₁+2х₂-х₃+х₄= 0

х₂+4х₄= -1

Т-1 C-2-4

1). Решить систему методом Крамера :

х₁+х₂+2х₃= -1

2х₁-х₂+2х₃ = -4

4х₁+х₂+4х₃ = -2

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁-2х₃+4х₄ = 1

-х₂+2х₃+х₄ = -2

-х₁-х₃+3х₄ = 0

-х₂-х₃+8х₄ = -1

Т-1 С-2-5

1). Решить систему методом Крамера

2х₁-х₂-х₃ = 4

3х₁+4х₂-2х₃= 11

3х₁-2х₂+4х₃ = 11

2). Решить систему методом Гаусса :

-2х₁+х₂-х₃+х₄ = 2

2х₂+х₃+х₄ = 1

х₁+х₃-2х₄ = -2

2х₁+2х₃-х₄ = 1

Т- 1 С-2-6

1). Решить систему методом Крамера :

3х₁+4х₂+2х₃=8

2х₁-х₂-3х₃ = -1

х₁+5х₂+х₃= 0

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁+х₂-х₃+х₄ =2

х₁+х₃+х₄ = 1

-х₁+2х₂-х₃ = -2

4х₂-х₄ = 1

Т-1 С-2-7

1). Решить систему методом Крамера :

х₁+х₂-х₃ = 1

8х₁+3х₂-6х₃ = 2

4х₁+х₂-3х₃ = 3

2). Решить систему методом Гаусса :

2х₁+3х₂-х₃+х₄ = -2

3х₁-х₂+2х₃+4х₄ = 12

х₁+х₂+3х₃-2х₄ = 4

-х₁+2х₂+2х₃ = 3

Т-1 С-1-8

1). Решить систему методом Крамера :

х₁+3х₂-6х₃ = -12

3х₁+2х₂+5х₃ = -10

2х₁+5х₂-3х₃ = 6

2). Решить систему методом Гаусса :

3х₁-2х₂+3х₃-3х₄ = 0

3х₁-2х₂-х₃+х₄ = 0

3х₁-2х₂-х₃+х₄ = 0

х₁+2х₂-х₄ = 0

Т-1 С-2-9

1). Решить систему методом Крамера :

х₁+2х₂+х₃ = 8

3х₁+2х₂+х₃ = 10

4х₁+3х₂-2х₃= 4

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁+2х₂-х₄ = 0

2х₁+х₃-3х₄ = 1

х₁-2х₂-2х₃-3х₄ = 0

4х₁+4х₂+х₃-5х₄ = 1

Т-1 С-2-10

1). Решить систему методом Крамера :

5х₁-х₂-х₃ = 0

х₁+2х₂+3х₃ = 14

4х₁+3х₂+2х₃ = 16

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁+х₂-х₃+х₄ =2

2х₁-х₂+3х₃-2х₄=1

х₁-х₃+2х₄ = 6

3х₁-х₂+х₃-х₄ = 0

Т-1 С-2-11

1). Решить систему методом Крамера :

2х₁+х₂-х₃ = 5

х₁-2х₂+3х₃= -3

7х₁+х₂-х₃ = 10

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁+2х₂+х₃ = 8

х₂+3х₃+х₄ = 15

4х₁+х₃+х₄ = 11

х₁+х₂+5х₄ = 23

Т-1 С-2-12

1). Решить систему методом Крамера :

х₁-4х₂-2х₃ = -3

3х₁+х₂+х₃ = 5

3х₁-5х₂-6х₃ = -7

2). Решить систему методом Гаусса :

-х₁+х₂+х₃-х₄ = -2

х₁+2х₂-2х₃-х₄ = -5

2х₁-х₂-3х₃+2х₄ = -1

х₁+2х₂+3х₃-6х₄ = -10

Т-1 С-2-13

1). Решить систему методом Крамера :

3х₁+х₂-х₃= 1

-х₁+3х₂+2х₃= 0

х₁+4х₂+х₃= 3

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁ -2х₃+4х₄= 2

-х₂ + 2х₃ +х₄= -2

-х₁ +2х₂ -х₃ +3х₄ = 4

-х₂-х₃ = 4

Т-1 С-2-14

1). Решить систему методом Крамера :

х₁-2х₃=1

3х₁+2х₂+х₃=2

4х₁-х₂+5х₃=0

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁-2х₃+х₄=1

-х₂+2х₃+х₄= -2

-х₁+2х₂+х₃-2х₄= 4

х₂- х₃=3

Т-1 С-2-15

1). Решить систему методом Крамера :

х₁+2х₂-2х₃= 1

-х₁+х₂+х₃= -2

х₁-х₂-х₃= -4

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁+2х₄= 1

-х₂+2х₃+х₄= -2

-х₁+2х₂+3х₄= 0

х₂+2х₃+2х₄= -1

Т-1 C-2-16

1). Решить систему методом Крамера :

-2х₁+х₃= 0

х₁+х₂+х₃ = 2

х₁-х₂-2х₃ = -4

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁+х₂-2х₃ = 2

-х₂+2х₃+х₄ = -2

-х₁+х₂-х₄ = 3

-х₂+х₃ = 3

Т-1 С-2-17

1). Решить систему методом Крамера

- 2х₁-х₃ = 6

4х₁+х₂+х₃= -2

4х₂-х₃ = 4

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁ +х₂-2х₃+4х₄= 2

-х₂ + 2х₃ +х₄= -2

-х₁ +2х₂ -х₃ +3х₄ = 4

-х₂-х₃ = 4

Т- 1 С-2-18

1). Решить систему методом Крамера :

х₁+2х₃=1

-х₁+х₂+х₃ = 4

х₁-х₂-х₃= -8

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁ -2х₃+х₄= 1

-х₂ + 2х₃ +х₄= -2

-х₁ +2х₂ -х₃ -2х₄ = 4

х₂-х₃ = 0

Т-1 С-2-19

1). Решить систему методом Крамера :

-2х₁+х₂ = 1

х₁+х₃ = 0

х₁-х₂-4х₃ = -4

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁+2х₄ = 1

-х₂+2х₃+х₄ = -2

- х₁+2х₂+3х₄ = 0

х₂+2х₃+2х₄ = -1

Т-1 С-1-20

1). Решить систему методом Крамера :

- х₁+2х₂-2х₃ = 1

х₂+х₃ = 12

х₁+х₂-х₃ = 8

2). Решить систему методом Гаусса :

х₁+х₂-2х₃= 2

-х₂+2х₃+х₄ = -2

-х₁+х₂-х₄ = 3

-х₂ +х₃= 3

Т-1 С-2-21