Дифракция света

Под дифракцией понимают круг явлений, связанный с отклонением от прямолинейного распространения света. Дифракция возникает, если появляется преграда, закрывающая часть световой волны. Тогда на экране за преградой возникнет дифракционная картина в виде чередования областей минимумов и максимумов освещенности. Решение задач дифракции с помощью уравнений Максвелла натыкается на значительные математические трудности. Для весьма широкого круга задач пригоден значительно более простой и наглядный приближенный метод, основанный на принципе Гюйгенса-Френеля.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Рассмотрим непрозрачную преграду N с отверстием произвольной формы, через которое проходит свет от точечного монохроматического источника С (рис.22). Определим напряженность электрической компоненты световой волны в произвольно точке Р за преградой. Перекроем мысленно отверстие в преграде произвольной поверхностью S и разобьем ее на элементарные участки dS. Френель предложил считать каждый такой элементарный участок источником вторичной сферической волны. Достигнув точки Р, амплитуда этой волны будет пропорциональна амплитуде первичной волны и самой dS, и обратно пропорциональна расстоянию r от dS до Р. В результате точки Р достигнет колебание электрического вектора, величина которого меняется по закону

, (87)

где коэффициент К зависит от угла θ между нормалью к dS и направлением на точку Р. Логично допустить, что коэффициент К монотонно убывает по мере увеличения θ. Результирующее колебание в точке Р равно

. (88)

Мы получили математическую формулировку принципа Гюйгенса-Френеля. Суть его в следующем: для определения электрической компоненты световой волны в точке Р, лежащей за некоторой поверхностью S, являющейся источником вторичных волн, необходимо найти колебания, приходящие в эту точку от всех элементов dS этой поверхности, а затем сложить их с учетом амплитуд и фаз при помощи векторной диаграммы (рис.23). На этой диаграмме результирующая амплитуда = сумме амплитуд .

Рассмотрим при помощи принципа Гюйгенса-Френеля дифракцию от круглого отверстия.

Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны таким образом, чтобы расстояние от внешней границы очередной зоны до точки Р отличалось на λ/2 (рис.24). Нетрудно сообразить, что внешний радиус m-й зоны равен

. (89)

Если на отверстие падает плоская волна, то

. (90)

Площади зон = π, т.е. практически одинаковы. Однако амплитуды колебаний, приходящих в точку Р, по мере увеличения m монотонно и очень медленно убывают из-за увеличения расстояния r_m и роста угла θ . Фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р соседними зонами, отличаются на π, поэтому векторы амплитуд нечетных зон противоположны векторам-амплитудам от четных зон. Если число зон нечетное, то в точке Р наблюдается максимум, если число зон четное, то – минимум.

Амплитуду результирующего колебания можно получить графически, как мы указывали выше: каждую зону и всю поверхность делят на весьма узкие (дифференциально узкие подзоны площадью dS). Тогда результат действия 1-й зоны Френеля можно изобразить диаграммой (рис.25а), которая соответствует сдвигу фаз на π в пределах от центра до внешней границы зоны и дает максимально возможную амплитуду А₁. Результат действия первых двух зон (рис.25b) дает амплитуду А₂, близкую к нулю; трех зон - А₃ (рис.25с), чуть меньшую максимальной и так далее. Амплитуда А_∞ при всех открытых зонах составляет половину А₁. Поэтому интенсивность в точке Р в этом случае парадоксальным образом оказывается в 4 раза меньше, чем при открытой только первой зоне (напомним: интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Отсюда следует объяснение наблюдаемой на экране за отверстием картины чередования темных и светлых полос.

Дифракция от щели. Пусть на щель ширины b падает нормально плоская световая волна (рис.26). Разобьем щель на зоны в виде узких полосок одинаковой ширины параллельных краям. Амплитуды колебаний, приходящих в точку Р от каждой зоны, имеют одинаковую амплитуду dA, поскольку распространяются параллельно друг другу перед линзой (на прохождение внутри линзы все параллельные лучи тратят одинаковое время). Разность фаз между соседними зонами будет одинаковой. Следовательно, на векторной диаграмме будут суммироваться одинаковые по модулю векторы , повернутые друг относительно друга на один и тот же угол. Если разность хода лучей составляет =λ, то их разность фаз δ=2π и амплитуда результирующего колебания обращается в нуль. Это первый минимум дифракционной картины, представляющей собой симметричную относительно середины систему чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели. Результирующая амплитуда обращается в нуль и тогда, когда разность хода  равна целому числу длин волн. Поскольку =bsinφ (рис.26), то окончательно, условием дифракционных минимумов будет

, где m=1,2,3… (91)

При m=0 (в точке экрана напротив центра щели) наблюдается максимум, так как в этом случае разность фаз δ=0. Качественно картина распределения интенсивности на экране представлена на рис. 27.

Дифракционная решетка является спектральным прибором, служащим для разложения света в спектр. Она представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которой нанесено очень много (до 10⁵) прямых равноотстоящих штрихов. Рассмотрим идеальную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих щелей. Пусть ширина каждой щели равна b, а период решетки d (d=а+ b), где а расстояние между щелями. Пусть на решетку падает нормально плоская монохроматическая световая волна (рис.28). Каждая из щелей давала бы картину, показанную на рис. 27. И такие картины в отсутствие когерентности точно накладывались бы друг на друга, независимо от их положения. Интенсивности при этом складывались бы, и мы получили бы от N щелей дифракционную картину как от одной щели, но усиленную в N раз.

При освещении решетки когерентным светом, световые волны от всех щелей интерферируют друг с другом, и дифракционная картина резко меняется (рис.28 а). Мы будем наблюдать систему достаточно узких максимумов. Поэтому, строго говоря, картина является дифракционно-интерференционной. Рассмотрим главные максимумы. В середину дифракционной картины когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равна А₁, а число щелей N, то результирующая амплитуда A и соответствующая ей интенсивность I будут определяться формулами

A= А₁N, I=I₁N². (92)

Такой же результат (рис.28 b) получается и для углов дифракции φ, для которых оптическая разность хода  колебаний от соседних щелей равна целому числу длин волн:

, , (93)

где знаки «±» следуют из симметрии дифракционной картины относительно нормали к решетке. Справедливости ради, следует сказать, что имеют место еще и максимумы не «главные», но их интенсивности значительно меньше, кроме того, используются дополнительные меры для их подавления. В эти специальные вопросы мы вдаваться не будем. Формулу (93) называют формулой дифракционной решетки.