1.3. Задачи для самостоятельного решения 3-го уровня сложности

1.3.01. Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды, перпендикулярной к берегам скоростью v=0,3 м/с. Ширина реки равна L=63 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону , где x – расстояние от берега, u₀ – константа, равная 5 м/с. Найти снос лодки S вниз по течению от пункта отправления до места причала на противоположном берегу реки.

Ответ: а) S=400 м; б) S=500 м; в) S=600 м; г) S=700 м; д) S=800 м.

1.3.02. Спортсмены бегут колонной длины =20 м со скоростью v=7 м/с. Навстречу бежит тренер со скоростью u=3 м/с. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью v. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?

Ответ: а) S=4 м; б) S=5 м; в) S=6 м; г) S=7 м; д) S=8 м.

1.3.03. Два стержня пересекаются под углом =30⁰ и движутся с равными скоростями v=5 м/с перпендикулярными самим себе (рис. 1.71). Какова скорость точки пересечения стержней?

Ответ: а) v₁=19,3 м/с; б) v₁=17,3 м/с; в) v₁=15,3 м/с; г) v₁=13,3 м/с; д) v₁=11,3 м/с.

1.3.04. Автомобиль удаляется со скоростью v=20 м/с от длинной стены, двигаясь под углом =30⁰ к ней. В момент, когда расстояние до стены равно =10 м, шофер подает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента, когда шофер услышит эхо (рис. 1.72)? Скорость звука в воздухе с=350 м/с.

Ответ: а) S=1,0 м; б) S=1,2 м; в) S=1,4 м; г) S=1,5 м; д) S=1,6 м.

1.3.05. Мяч, брошенный со скоростью v₀=10 м/с под углом =45⁰ к горизонту, упруго ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии =3 м от места бросания (рис. 1.73). Определить координаты точки приземления.

Ответ: а) x_п=-3 м; y_п=1 м; б) x_п=-2 м; y_п=1 м; в) x_п=-4 м; y_п=0 м; г) x_п=-3 м; y_п=0 м; д) x_п=-1 м; y_п=1 м.

1.3.06. Мяч, брошенный со скоростью v₀=10 м/с под углом =45⁰ к горизонту, упруго ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии =3 м от места бросания (рис. 1.73). Определить координаты точки отскока.

Ответ: а) x₀=2 м; y₀=3,61 м; б) x₀=3 м; y₀=3,61 м; в) x₀=4 м; y₀=2,61 м; г) x₀=3 м; y₀=2,61 м; д) x₀=1 м; y₀=3,61 м.

1.3.07. Мяч, брошенный со скоростью v₀=10 м/с под углом =45⁰ к горизонту, упруго ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии =3 м от места бросания (рис. 1.73). Определить скорость v мяча в момент удара о стенку.

Ответ: а) v=3,6 м/с; б) v=4,6 м/с; в) v=5,6 м/с; г) v=6,6 м/с; д) v=7,6 м/с.

1.3.08. На вершине склона горы на расстоянии L=1 км (вдоль горизонта) от подножья установлена цель (рис. 1.74). С какой скоростью v₀ необходимо произвести выстрел из пушки, чтобы попасть в цель. Угол наклона горы =20⁰, угол стрельбы по отношению к горизонту =45⁰.

Ответ: а) v₀=164,3 м/с; б) v₀=154,3 м/с; в) v₀=144,3 м/с; г) v₀=134,3 м/с; д) v₀=124,3 м/с.

1.3.09. Из одной точки в один и тот же момент времени под углом =60⁰ к горизонту бросают два камня со скоростями v₀₁=5 м/с и v₀₂=10 м/с. Какое расстояние будет между камнями в тот момент, когда первый из них достигнет наивысшей точки подъема (рис. 1.75)?

Ответ: а) ℓ=5,2 м; б) ℓ=4,2 м; в) ℓ=3,2 м; г) ℓ=2,2 м; д) ℓ=1,2 м.

1.3.10. Тяжелая горизонтальная плита движется вверх с постоянной скоростью u=1 м/с. Легкий шарик начинает свободно падать и, пролетев расстояние h=1 м, сталкивается упруго с плитой. Определить время между двумя последовательными ударами шарика о плиту.

Ответ: а) t=2,2 с; б) t=1,9 с; в) t=1,6 с;г) t=1,3 с; д) t=1,0 с.

1.3.11. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх маленький шарик (рис. 1.76). На расстоянии =30 см шарик побывал дважды: через t₁=1 с и через t₂=2 с после начала движения. Определить начальную скорость шарика v₀, считая движение равнопеременным.

Ответ: а) v₀=0,55 м/с; б) v₀=0,50 м/с; в) v₀=0,45 м/с; г) v₀=0,35 м/с; д) v₀=0,30 м/с.

1.3.12. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх маленький шарик (рис. 1.76). На расстоянии =30 см шарик побывал дважды: через t₁=1 с и через t₂=2 с после начала движения. Определить ускорение шарика a, считая движение равнопеременным.

Ответ: а) a=0,5 м/с²; б) a=0,4 м/с²; в) a=0,3 м/с²; г) a=0,2 м/с²; д) a=0,1 м/с².

1.3.13. Упругое тело падает с высоты h=2 м на наклонную плоскость (рис. 1.77). Определить, через какое время t после отражения тело упадет на наклонную плоскость вторично.

Ответ: а) t=1,2 с; б) t=1,3 с; в) t=1,4 с; г) t=1,5 с; д) t=1,6 с.

1.3.14. Небольшой шарик скользит со скоростью v₀=10 м/с по горизонтальной поверхности стола, приближаясь к его краю (рис. 1.78). Боковая поверхность стола и стена образуют щель шириной d=5 см. Высота стола h=1 м. Сколько раз ударится шарик о боковые поверхности, прежде чем достигнет пола? Удары считать абсолютно упругими.

Ответ: а) N=100; б) N=90; в) N=80; г) N=70; д) N=60.

1.3.15. На клине с углом наклона =30⁰ лежит монета. С каким наименьшим ускорением должен двигаться клин по горизонтальной поверхности, чтобы монета свободно падала вниз?

Ответ: а) a=16,9 м/с²; б) a=15,9 м/с²; в) a=14,9 м/с²; г) a=13,9 м/с²; д) a=12,9 м/с².

1.3.16. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R=5 м. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?

Ответ: а) v=15,7 м/с; б) v=14,7 м/с; в) v=13,7 м/с; г) v=12,7 м/с; д) v=11,7 м/с.

1.3.17. Под каким наименьшим углом к горизонту следует бросать мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху, не ударившись о него? Радиус мяча r, радиус кольца R=2r, высота его над полом H=3 м. Баскетболист бросает мяч с высоты h=2 м, находясь на горизонтали от кольца на расстоянии =5 м.

Ответ: а) =24,4⁰; б) =44,4⁰; в) =34,4⁰; г) =54,4⁰; д) =74,4⁰.

1.3.18. Из одной точки с горизонтальной поверхности одновременно брошены два мяча с одинаковой скоростью v₀=10 м/с, но под разными углами ₁=60⁰ и ₂=30⁰. Чему равна скорость мячей относительно друг друга? Считать, что мячи движутся поступательно.

Ответ: а) u=10,2 м/с; б) u=12,2 м/с; в) u=14,2 м/с; г) u=16,2 м/с; д) u=18,2 м/с.

1.3.19. Из одной точки с горизонтальной поверхности одновременно брошены два мяча с одинаковой по модулю скоростью v₀=10 м/с, но под разными углами ₁=60⁰ и ₂=30⁰ (рис. 1.79). Определить расстояние между мячами в момент времени t=2 с. Считать, что мячи движутся поступательно.

Ответ: а) S=15,4 м; б) S=25,4 м; в) S=18,4 м; г) S=28,4 м; д) S=20,4 м.

1.3.20. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра r=5 см. Найти радиус кривизны траектории точки А (рис. 1.80).

Ответ: а) R=0,20 м; б) R=0,24 м; в) R=0,10 м; г) R=0,18 м; д) R=0,14 м.

1.3.21. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра r=5 см. Найти радиус кривизны траектории точки В (рис. 1.10).

Ответ: а) R=0,2 м; б) R=0,3 м; в) R=0,4 м; г) R=0,5 м; д) R=0,6 м.

1.3.22. Тело участвует в двух вращениях, происходящих со скоростями и , а=1 рад/с². На какой угол  повернется тело за первые 3 с?

Ответ: а) =15 рад; б) =20 рад; в) =25 рад; г) =30 рад; д) =35 рад.

1.3.23. На платформах, расположенных рядом и вращающихся в противоположных направлениях, находятся наблюдатели А₁ и А₂, занимающие в данный момент времени положения, показанные на рисунке 1.81 где О₁О₂=5 м, О₁А₁=О₂А₂=2 м, ₁=₂=1 рад/с. С какой скоростью наблюдатель А₂ движется в данный момент времени относительно наблюдателя А₁?

Ответ: а) v=1,5 м/с; б) v=1,3 м/с; в) v=1,0 м/с; г) v=0,8 м/с; д) v=0,6 м/с.

1.3.24. Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а=2 м. Они начинают двигаться одновременно с постоянной скоростью v=0,01 м/с. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Через какое время встретятся черепахи в центре квадрата?

Ответ: а) t=350 с; б) t=300 с; в) t=250 с; г) t=200 с; д) t=150 с.

1.3.25. Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одной и той же начальной скоростью (v₀=24,5 м/с) с промежутком времени =0,5 с. Через сколько времени от момента бросания второго тела они столкнутся?

Ответ: а) t=5,25 с; б) t=4,25 с; в) t=3,25 с; г) t=2,25 с; д) t=1,25 с.

1.3.26. Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одной и той же начальной скоростью (v₀=24,5 м/с) с промежутком времени =0,5 с. На какой высоте они столкнутся?

Ответ: а) h=25,3 м; б) h=10,3 м; в) h=20,3 м; г) h=40,3 м; д) h=30,3 м.

1.3.27. Камень, брошенный (рис. 1.82) с высоты h=2,1 м над поверхностью Земли под углом =45⁰ к горизонту, упал на землю на расстоянии S=42 м от места бросания, считая по горизонтали . С какой скоростью был брошен камень.

Ответ: а) v₀=13,8 м/с; б) v₀=15,8 м/с; в) v₀=17,8 м/с; г) v₀=19,8 м/с; д) v₀=14,8 м/с.

1.3.28. Камень, брошенный (рис. 1.82) с высоты h=2,1 м над поверхностью Земли под углом =45⁰ к горизонту, упал на землю на расстоянии S=42 м от места бросания, считая по горизонтали. Определить время полета камня.

Ответ: а) t=1 с; б) t=2 с; в) t=3 с; г) t=4 с; д) t=5 с.

1.3.29. Камень брошенный (рис. 1.82) с высоты h=2,1 м над поверхностью Земли под углом =45⁰ к горизонту, упал на землю на расстоянии S=42 м от места бросания, считая по горизонтали. Определить наибольшую высоту полета камня.

Ответ: а) h_max=14,1 м; б) h_max=12,1 м; в) h_max=10,1 м; г) h_max=16,1 м; д) h_max=18,1 м.

1.3.30. Упругий шарик падает на наклонно поставленную стенку с высоты h=20 см (рис. 1.83). На каком расстоянии от места падения он второй раз ударится о стенку? Угол наклона стенки к горизонту =37⁰.

Ответ: а) S=0,96 м; б) S=0,86 м; в) S=0,76 м; г) S=0,66 м; д) S=0,56 м.

1.3.31. По поверхности вращающегося с угловой скоростью равной 2 рад/с² диска из центра по радиусу начинает ползти жук. Расстояние от жука до оси вращения зависит от времени как , где а=0,1 м/с² постоянная величина. Определить ускорение жука в момент времени t=2 с от начала движения.

Ответ: а) a=3,2 м/с²; б) a=2,6 м/с²; в) a=2 м/с²; г) a=1,8 м/с²;

д) a=1,2 м/с².

1.3.32. Фонарь, находящийся на расстоянии ₀=3 м от вертикальной стены, бросает на нее "зайчик". Фонарь равномерно вращается около вертикальной оси. Частота оборотов фонаря n=0,5 с^–1. При вращении фонаря зайчик бежит по стене по горизонтальной прямой. Найти скорость зайчика через t=0,1 с после того, как луч света был перпендикулярен к стене.

Ответ: а) v=12,4 м/с; б) v=10,4 м/с; в) v=8,4 м/с; г) v=6,4 м/с; д) v=4,4 м/с.

1.3.33. Шар радиусом 16 см насажен на горизонтальную ось и катится по плоскости со скоростью v=60 см/с (рис. 1.84), описывая окружность радиусом 30 см. Определить полную угловую скорость шара.

Ответ: а) =4,00 с^-1; б) =4,25 с^-1; в) =3,75 с^-1; г) =3,50 с^-1; д) =3,25 с^-1.

1.3.34. Шар радиусом 16 см насажен на горизонтальную ось и катится по плоскости со скоростью v=60 см/с, описывая окружность радиусом 30 см (рис. 1.84). Определить угол наклона полной угловой скорости шара к горизонту.

Ответ: а) =32⁰; б) =30⁰; в) =28⁰; г) =26⁰; д) =24⁰.

1.3.35. Тело брошено горизонтально с горы с начальной скоростью v₀=110 м/с. Найти нормальное ускорение тела спустя время t=6,35 с после бросания.

Ответ: а) а_n=7,4 м/с²; б) а_n=8,0 м/с²; в) а_n=8,6 м/с²; г) а_n= =9,0 м/с²; д) а_n=9,6 м/с².

1.3.36. Тело брошено горизонтально с горы с начальной скоростью v₀=110 м/с. Найти тангенциальное ускорение тела спустя время t=6,35 с после бросания.

Ответ: а) а_=3,6 м/с²; б) а_=4,0 м/с²; в) а_=4,4 м/с²; г) а_=4,8 м/с²; д) а_=5,2 м/с².

1.3.37. Тело движется с постоянной относительно Земли скоростью v=20 м/с с востока на запад по параллели, лежащей на широте =60⁰. Найти нормальное ускорение тела при учете суточного вращения Земли. R_з=6,410⁶ м/с, =1210^-6 с^-1.

Ответ: а) а_n=16,610^-5 м/с²; б) а_n=14,610^-5 м/с²; в) а_n= =12,610^-5 м/с²; г) а_n=10,610^-5 м/с²; д) а_n=8,610^-5 м/с².

1.3.38. Тело начинает двигаться ускоренно по параллели, лежащей на широте =60⁰, с запада на восток. Ускорение тела относительно поверхности Земли равно а=2 м/с. Учитывая суточное вращение Земли, найти нормальное ускорение тела а_n спустя время t=5 с после начала движения. R_з=6,410⁶ м/с, =1210^-6 с^-1.

Ответ: а) а_n=0,3310^-3 м/с²; б) а_n=0,4310^-3 м/с²; в) а_n= =0,5310^-3 м/с²; г) а_n=0,6310^-3 м/с²; д) а_n=0,7310^-3 м/с².

1.3.39. Цилиндр радиуса R=0,2 м вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью =5 с^-1 (рис. 1.85). Вдоль образующей цилиндра с постоянной относительно поверхности цилиндра u=2 м/с движется тело. Найти скорость тела v в неподвижной системе отсчета.

Ответ: а) v=2,04 м/с; б) v=2,44 м/с; в) v=2,34 м/с; г) v=2,14 м/с; д) v=2,24 м/с.

1.3.40. Автомобиль с колесами радиуса R=0,6 м движется со скоростью v=20 м/с по горизонтальной дороге, причем , где g ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту h может быть заброшена вверх грязь, срывающаяся с колес автомобиля?

Ответ: а) h_max=13 м; б) h_max=15 м; в) h_max=17 м; г) h_max=19 м; д) h_max=21 м.

1.3.41. Для того чтобы повернуть трактор, движущийся со скоростью v₀=18 км/ч, тракторист притормаживает одну из гусениц так, что ось ведущего колеса начинает двигаться вперед со скоростью v₁=14 км/ч. Расстояние между гусеницами d=1,5 м (рис. 1.86). Дугу какого радиуса опишет центр трактора?

Ответ: а) R=6 м; б) R=6,5 м; в) R=7 м; г) R=7,5 м; д) R=8 м.

1.3.42. Найти величину ускорения тела А, соскальзывающего без начальной скорости по винтовому желобу с шагом h=0,1 м и радиусом R=0,5 м в конце 5 – го витка (рис. 1.87). Трением пренебречь.

Ответ: а) a=20,6 м/с²; б) a=19,6 м/с²;

в) a=18,6 м/с²; г) a=17,6 м/с²; д) a=16,6 м/с².

1.3.43. На киноэкране демонстрируется движущаяся повозка. Радиус передних колес r=0,35 м, задних R=1,5 м. Передние колеса имеют N₁=6 спиц. Съемочная камера перемещает пленку со скоростью 24 кадра в секунду. Считая, что колеса повозки катятся без скольжения, определить, с какой минимальной скоростью должна двигаться повозка, чтобы передние колеса ее казались на экране невращающимися?

Ответ: а) v_min=6,8 м/с; б) v_min=7,8 м/с; в) v_min=8,8 м/с; г) v_min=9,8 м/с; д) v_min=10,8 м/с.

1.3.44. На киноэкране демонстрируется движущаяся повозка. Радиус передних колес r=0,35 м, задних R=1,5 м. Передние колеса имеют N₁=6 спиц. Съемочная камера перемещает пленку со скоростью 24 кадра в секунду. Считая, что колеса повозки катятся без скольжения, определить, какое наименьшее число спиц N₂ должны иметь при этом задние колеса, чтобы они казались невращающимися?

Ответ: а) N₂=6; б) N₂=7; в) N₂=8; г) N₂=9; д) N₂=10.

1.3.45. Шарикоподшипник поддерживает конец оси вала, вращающегося с угловой скоростью =2 с^-1. Диаметр оси вала d=25 мм (рис. 1.88), диаметр обоймы шарикоподшипника D=50 мм. Найти линейную скорость движения центра одного из шариков, если обойма вращается с угловой скоростью ₁=1 с^-1. Считать, что шарики катятся по валу и обойме без скольжения.

Ответ: а) v₀=0,0510^-1 м/с; б) v₀=0,1010^-1 м/с; в) v₀=0,1510^-1 м/с; г) v₀=0,2010^-1 м/с; д) v₀=0,2510^-1 м/с.

1.3.46. Шарик, пущенный по наклонной плоскости, проходит два равных отрезка длиной ℓ=0,5 м каждый и продолжает двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за время t=t₁=1 с, второй – t₂=3t с (рис. 1.89). Найти скорость шарика в конце первого отрезка.

Ответ: а) v=0,26 м/с; б) v=0,30 м/с; в) v=0,34 м/с; г) v=0,38 м/с; д) v=0,42 м/с.

1.3.47. Автомобиль с шириной колеи 1,2 м и радиусом колес r=0,3 м движется по закругленному шоссе с радиусом кривизны R=50 м. Скорость центра автомобиля 36 км/ч. Найти линейную скорость v₁ внутренних (по отношению к центру кривизны шоссе) колес автомобиля (рис. 1.90).

Ответ: а) v₁=6,88 м/с; б) v₁=7,88 м/с; в) v₁=8,88 м/с; г) v₁=9,88 м/с; д) v₁=10,88 м/с.

1.3.48. Автомобиль с шириной колеи 1,2 м и радиусом колес r=0,3 м движется по закругленному шоссе с радиусом кривизны R=50 м. Скорость центра автомобиля 36 км/ч (рис. 1.91). Найти линейную скорость v₂ внешних (по отношению к центру кривизны шоссе) колес автомобиля.

Ответ: а) v₂=12,12 м/с; б) v₂=11,12 м/с; в) v₂=10,12 м/с; г) v₂=9,12 м/с; д) v₂=8,12 м/с.

1.3.49. Движение точки по кривой задано уравнениями и . Найти скорость точки в момент времени t=0,8 с.

Ответ: а) v=3,77 м/с; б) v=2,77 м/с; в) v=1,77 м/с; г) v=0,77 м/с; д) v=0,077 м/с.

1.3.50. Движение точки по кривой задано уравнениями и . Найти полное ускорение точки в момент времени t=0,8 с.

Ответ: а) a=4,8 м/с²; б) a=4,6 м/с²; в) a=4,4 м/с²; г) a=4,2 м/с²; д) a=4,0 м/с².

1.3.51. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d=0,3 м друг от друга (рис. 1.92). Диски вращаются с частотой =25 с^-1. Пуля, летевшая параллельно оси на расстоянии r=0,12 м от нее, пробила оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга на расстояние S=0,05 м, считая по дуге окружности. Найти среднюю путевую скорость <v> пули в промежутке между дисками. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: а) <v>=115 м/с; б) <v>=113 м/с; в) <v>=111 м/с; г) <v>=109 м/с; д) <v>=107 м/с.

1.3.52. Два бумажных диска (рис. 1.93) насажены на общую горизонтальную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d=0,3 м друг от друга . Диски вращаются с частотой =25 с^-1. Пуля, летевшая параллельно оси на расстоянии r=0,12 м от нее, пробила оба диска . Пробоины в дисках смещены друг относительно друга на расстояние S=0,05 м, считая по дуге окружности. Найти создаваемое силой тяжести смещение пробоин в вертикальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: а) h=2510^-6 м; б) h=3010^-6 м; в) h=3510^-6 м; г) h=4010^-6 м; д) h=4510^-6 м.

1.3.53. На токарном станке протачивается вал диаметром d= =60 мм. Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот. Какова скорость v резания, если за интервал времени t=1 мин протачивается участок вала длиной ℓ=120 мм?

Ответ: а) v=0,724 м/с; б) v=0,734 м/с; в) v=0,744 м/с; г) v=0,754 м/с; д) v=0,764 м/с.

1.3.54. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние между которыми ℓ=30 м. Пробоина во втором листе оказалась на h=0,1 м ниже, чем в первом. Определить скорость пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально (рис. 1.94) Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: а) v=250 м/с; б) v=240 м/с; в) v=230 м/с; г) v=220 м/с; д) v=210 м/с.

1.3.55. При движении автомобиля его колесо радиуса r=0,75 м катится по окружности радиуса R=6,00 м в горизонтальной плоскости. При этом центр колеса движется с постоянной линейной скоростью v=1,5 м/с. Определить угловую скорость колеса.

Ответ: а) =1,02 рад/с; б) =2,02 рад/с; в) =2,52 рад/с; г) =2,72 рад/с; д) =2,92 рад/с.

1.3.56. При движении автомобиля его колесо радиуса r=0,75 м катится по окружности радиуса R=6,00 м в горизонтальной плоскости. При этом центр колеса движется с постоянной линейной скоростью v=1,5 м/с. Определить угловое ускорение колеса.

Ответ: а) =0,70 рад/с²; б) =0,60 рад/с²; в) =0,50 рад/с²; г) =0,40 рад/с²; д) =0,30 рад/с².

1.3.57. При движении автомобиля его колесо радиуса r=0,75 м катится по окружности радиуса R=6,00 м в горизонтальной плоскости. При этом центр колеса движется с постоянной линейной скоростью v=1,5 м/с. Определить угол, образуемый вектором  с вертикалью.

Ответ: а) =74⁰; б) =77⁰; в) =80⁰; г) =83⁰; д) =86⁰.

1.3.58. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R=4 м, задается уравнением . Определить тангенциальное ускорение точки в момент времени t=5 с после начала движения.

Ответ: а) a_t=2 м/с²; б) a_t=3 м/с²; в) a_t=4 м/с²; г) a_t=5 м/с²; д) a_t=6 м/с².

1.3.59. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R=4 м, задается уравнением . Определить путь, пройденный точкой за время t=5 с после начала движения.

Ответ: а) S=85 м; б) S=75 м; в) S=65 м; г) S=55 м; д) S=45 м.

1.3.60. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R=4 м, задается уравнением . Определить полное ускорение точки в момент времени t=1 с.

Ответ: а) a=6,32 м/с²; б) a=5,32 м/с²; в) a=4,32 м/с²; г) a=3,32 м/с²; д) a=2,32 м/с².

1.3.61. Две частицы А и В совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой x₀=10 см по одной и той же прямой. Частоты их движений соответственно равны _А=20 с^-1 и _В=21 с^-1. В момент времени t=0 обе частицы проходят точку x=0 в положительном направлении. На каком расстоянии они будут находиться друг от друга в момент времени t=0,350 с?

Ответ: а) x=2,47 см; б) x=2,37 см; в) x=2,57 см; г) x=2,17 см; д) x=2,27 см.

1.3.62. Две частицы А и В совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой x₀=10 см по одной и той же прямой. Частоты их движений соответственно равны _А=20 с^-1 и _В=21 с^-1. В момент времени t=0 обе частицы проходят точку x=0 в положительном направлении. Какова скорость частицы В относительно А в момент времени t=0,350 с?

Ответ: а) v_В=0,1 м/с; б) v_В=0,2 м/с; в) v_В=0,3 м/с; г) v_В=0,4 м/с; д) v_В=0,5 м/с.

1.3.63. Частица движется с постоянной скоростью 24 м/с по окружности с центром в начале координат. В момент времени t=0 частица находится в точке с координатами x=3 м и y=4,2 м. Чему равна частота вращения частицы?

Ответ: а) =0,44 Гц; б) =0,54 Гц; в) =0,64 Гц; г) =0,74 Гц; д) =0,84 Гц.

1.3.64. Частица движется с постоянной скоростью 24 м/с по окружности с центром в начале координат. В момент времени t=0 частица находится в точке с координатами x=3 м и y=4,2 м. Чему равна начальная фаза колебаний (₀) частицы?

Ответ: а) ₀=46⁰; б) ₀=50⁰; в) ₀=54⁰; г) ₀=58⁰; д) ₀=62⁰.

1.3.65. При наблюдении затухающих колебаний оказалось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60%. Период колебаний T=0,5 с. Определить коэффициент затухания.

Ответ: а) =2,03 с^-1; б) =1,83 с^-1; в) =1,63 с^-1; г) =1,43 с^-1; д) =1,23 с^-1.

1.3.66. При наблюдении затухающих колебаний оказалось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60%. Период колебаний T=0,5 с. Определить собственную частоту незатухающих колебаний.

Ответ: а) ₀=2,02 Гц; б) ₀=3,02 Гц; в) ₀=2,52 Гц; г) ₀=3,52 Гц;

д) ₀=4,02 Гц.

1.3.67. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания =0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

Ответ: а) N=1,12; б) N=1,22; в) N=1,32; г) N=1,42; д) N=1,52.

1.3.68. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника А₀=3 см. Через t₁=10 с амплитуда стала А₁=1 см. Через какое время амплитуда станет равной А₂=0,3 см?

Ответ: а) t₂=15 с; б) t₂=18 с; в) t₂=21 с; г) t₂=24 с; д) t₂=27 с.

1.3.69. К вертикально висящей пружине подвешивают груз (рис. 1.95). При этом пружина удлиняется на =9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания , чтобы колебания прекратились через время t=10 с (считая условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной)?

Ответ: а) =0,66 с^-1; б) =0,26 с^-1; в) =0,36 с^-1; г) =0,46 с^-1; д) =0,56 с^-1.

1.3.70. К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на =9,8 см (рис. 1.95). Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания , чтобы груз возвращался в положение равновесия апериодически?

Ответ: а) =2 с^-1; б) =4 с^-1; в) =6 с^-1; г) =8 с^-1; д) =10 с^-1.

1.3.71. К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на =9,8 см (рис. 1.95). Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания , чтобы логарифмический декремент затухания колебаний был равным =6?

Ответ: а) =2,00 с^-1; б) =2,25 с^-1; в) =2,5 с^-1; г) =2,75 с^-1; д) =3,5 с^-1.

1.3.72. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами 5 см и 7 см складываются в одно гармоническое колебание с амплитудой 9 см. Определить разность фаз складываемых колебаний.

Ответ: а) =54,3⁰; б) =64,3⁰; в) =74,3⁰; г) =84,3⁰; д) =94,3⁰.

1.3.73. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами 5 см и 7 см складываются в одно гармоническое колебание с амплитудой 9 см. Наибольшая скорость первого колебания равна 50 см/с. Определить наибольшую скорость результирующего колебания.

Ответ: а) v_max=0,7 м/с; б) v_max=0,8 м/с; в) v_max=0,9 м/с; г) v_max=1,0 м/с; д) v_max=1,1 м/с.

1.3.74. Затухающее колебание описывается уравнением . При каком фазовом угле  смещение достигает максимального значения, если период колебания Т=1 с, а коэффициент затухания =0,05 с^-1?

Ответ: а) =99,5⁰; б) =89,5⁰; в) =79,5⁰; г) =69,5⁰; д) =59,5⁰.

1.3.75. Амплитуда затухающих колебаний в начальный момент времени равна x₀=18,0 см. В момент времени t₁=15,0 с она равна x₀₁=6 см. В какой момент времени t₂ амплитуда колебаний будет равна x₀₂=1,80 с?

Ответ: а) t₂=31 с; б) t₂=29 с; в) t₂=27 с; г) t₂=25 с; д) t₂=23 с.

1.3.76. Какой путь S проходит колеблющаяся точка до остановки, если ее смещение из положения равновесия описывается функцией , период собственных колебаний T=1 с, коэффициент затухания =0,05 с^-1, x₀=5 см? Указание. При решении задачи членами, содержащими (/)², пренебречь.

Ответ: а) S=4,75 м; б) S=4,55 м; в) S=4,35 м; г) S=4,25 м; д) S=4,15 м.

1.3.77. В среде с плотностью =1,29 кг/м³ распространяется вдоль оси х со скоростью v=340 м/с плоская звуковая волна, частота которой =1 кГц. Уравнение волны , где ₀=5 см, x=20 см, k=/v – волновое число, x=10 см. Найти изменение давления в среде за время t=5 с.

Ответ: а) p=0,2610⁵ Па; б) p=0,2410⁵ Па; в) p=0,2210⁵ Па; г) p=0,2010⁵ Па; д) p=0,1810⁵ Па.

1.3.78. Стержень, имеющий длину =0,50 м, закреплен в середине. Найти частоту собственных продольных колебаний стержня, в точке координата которой удовлетворяет n=1. Стержень сделан из меди, модуль Юнга которой E=1110¹⁰ Н/м².

Ответ: а) =9,5 кГц; б) =10,0 кГц; в) =10,5 кГц; г) =12,5 кГц; д) =12,5 кГц.

1.3.79. На какую величину  надо уменьшить длину струны =1,20 м для того, чтобы частота колебаний струны увеличилась в N=1,2 раза при том же натяжении?

Ответ: а) =0,14 м; б) =0,16 м; в) =0,18 м; г) =0,20 м; д) =0,22 м.

1.3.80. Две одинаковые струны с частотой колебаний =1,34 кГц имеют длину =150 см. На какую величину  надо укоротить одну из струн, не меняя натяжения, чтобы получить биения с частотой =9,0 Гц?

Ответ: а) =1,8 см; б) =1,6 см; в) =1,4 см; г) =1,2 см; д) =1,0 см.

1.3.81. Источник звуковых колебаний частоты ₀=1 кГц приближается по нормали к стене. Скорость источника u=1,7 м/с. Найти частоту биений , если источник находится между приемником и стеной. Скорость звука v=340 м/с.

Ответ: а) =10 Гц; б) =12 Гц; в) =13 Гц; г) =14 Гц; д) =15 Гц.

1.3.82. Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой ₀=1 кГц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется вдоль этой линии со скоростью u=7,00 м/с, направленной к источнику. Скорость звука v=340 м/с. Определить частоту акустического биения.

Ответ: а) =41,2 Гц; б) =42,2 Гц; в) =43,2 Гц; г) =44,2 Гц; д) =45,2 Гц.

1.3.83. На расстоянии r₁=10 м от источника уровень громкости звука L₁=40 Дб. Найти минимальное расстояние r₀, на котором звук не слышан.

Ответ: а) r₀=0,8 км; б) r₀=1,0 км; в) r₀=1,2 км; г) r₀=1,4 км; д) r₀=1,6 км.

1.3.84. Два звука разнятся по уровню громкости на L₁₂=30 Дб. Найти отношение амплитуд колебаний давления.

Ответ: а) p₁/p₂=3,4; б) p₁/p₂=3,2; в) p₁/p₂=3,0; г) p₁/p₂=2,8; д) p₁/p₂=2,6.

1.3.85. Амплитуда колебаний давления воздуха при громкости, соответствующей порогу слышимости, равна 310 ^{– 4} дин/см². Какова амплитуда для звука той же частоты с уровнем громкости 60 Дб?

Ответ: а) p₀=510^-2 Па; б) p₀=410^-2 Па; в) p₀=310^-2 Па; г) p₀=210^-2 Па; д) p₀=110^-2 Па.

1.3.86. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением м/с. Определить смещение этой точки в момент времени t=2 с.

Ответ: а) x=0,76 м; б) x=0,86 м; в) x=0,96 м; г) x=1,06м; д) x=1,16 м.

1.3.87. Определить начальную фазу колебаний тела, если через 0,25 секунд от начала движения смещение было равно половине амплитуды. Период колебаний 6 с.

Ответ: а) ₀=/3; б) ₀=/6; в) ₀=/9; г) ₀=/12; д) ₀=/15.

1.3.88. Две частицы А и В совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой (10 см) по одной и той же прямой. Частоты их движений составляют _А=20 с^-1; _В=21 с^-1 соответственно. В момент времени t=0 обе частицы проходят точку x=0 в положительном направлении. На каком расстоянии они будут находиться друг от друга в момент t=0,350 с?

Ответ: а) x=1,87; б) x=1,97 см; в) x=2,07 см; г) x=2,17 см; д) x=2,27.

1.3.89. Две частицы А и В совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой (10 см) по одной и той же прямой. Частоты их движений составляют _А=20 с^-1; _В=21 с^-1 соответственно. В момент времени t=0 обе частицы проходят точку x=0 в положительном направлении. Какова скорость частицы В относительно А в момент времени t=0,350 с?

Ответ: а) v_В=30 см/с; б) v_В=35 см/с; в) v_В=40 см/с; г) v_В= =45 см/с; д) v_В=50 см/с.

1.3.90. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т₁=Т₂=1,5 с и амплитудами А₁=А₂=2 см. Начальные фазы колебаний ₁=/2 и ₂=/3. Определить начальную фазу  результирующего колебания.

Ответ: а) =0,457 рад; б) =0,447 рад; в) =0,437 рад; г) =0,427 рад; д) =0,417 рад.

1.3.91. На горизонтальном столе лежат два тела массы M=1 кг каждое, связанные невесомой нерастяжимой нитью. Тело 2 связано такой же нитью с грузом m=0,5 кг. Блок невесомый, трением в блоке можно пренебречь (рис. 1.96). Коэффициент трения первого тела со столом ₁=0,1, второго – ₂=0,15. Найти ускорение движения тел.

Ответ: а) a=1 м/с²; б) a=1,2 м/с²; в) a=1,4 м/с²; г) a=1,6 м/с²; д) a=1,8 м/с².

1.3.92. На горизонтальном столе лежат два тела массы M=1 кг каждое, связанные невесомой нерастяжимой нитью (рис. 1.96). Тело 2 связано такой же нитью с грузом m=0,5 кг. Блок невесомый, трением в блоке можно пренебречь. Коэффициент трения первого тела со столом ₁=0,1, второго – ₂=0,15. Найти натяжение нити между вторым и третьим телами.

Ответ: а) T₂₃=4,6 Н; б) T₂₃=4,5 Н; в) T₂₃=4,4 Н; г) T₂₃=4,3 Н; д) T₂₃=4,2 Н.

1.3.93. На горизонтальном столе лежат два тела массы M=1 кг каждое, связанные невесомой нерастяжимой нитью (рис. 1.96). Тело 2 связано такой же нитью с грузом m=0,5 кг. Блок невесомый, трением в блоке можно пренебречь. Коэффициент трения первого тела со столом ₁=0,1, второго – ₂=0,15. Найти натяжение нити между первым и вторым телами.

Ответ: а) T₁₂=1,4 Н; б) T₁₂=1,2 Н; в) T₁₂=1,0 Н; г) T₁₂=0,8 Н; д) T₁₂=0,6 Н.

1.3.94. На горизонтальном столе лежат два тела массы M=1 кг каждое, связанные невесомой нерастяжимой нитью (рис. 1.96). Тело 2 связано такой же нитью с грузом m=0,5 кг. Блок невесомый, трением в блоке можно пренебречь. Коэффициент трения первого тела со столом ₁=0,1, второго – ₂=0,15. Найти силу давления на ось блока.

Ответ: а) F_о=5,9 Н; б) F_о=6,2 Н; в) F_о=6,3 Н; г) F_о=6,6 Н; д) F_о=6,9 Н.

1.3.95. На наклонной плоскости с углом наклона к горизонту =30⁰ (рис. 1.97) движется тело массой m=1 кг, связанное невесомой нитью с телом 1 такой же массы. Коэффициент трения тела 2 о наклонную плоскость =0,1. Найти ускорение этих тел. Трением в блоке пренебречь.

Ответ: а) а=1,62 м/с²; б) 1,82; в) 1,92; г) а=2,02 м/с²; д) а=2,12 м/с².

1.3.96. На наклонной плоскости с углом наклона к горизонту =30⁰ движется тело массой m=1 кг, связанное невесомой нитью с телом 1 такой же массы (рис. 1.97). Коэффициент трения тела 2 о наклонную плоскость =0,1. Найти силу натяжения нити. Трением в блоке пренебречь.

Ответ: а) Т=3,8 Н; б) Т=4,8 Н; в) Т=5,8 Н; г) Т=6,8 Н; д) Т=7,8 Н.

1.3.97. Найти ускорение груза 1 в системе, изображенной на рисунке 1.98. Массы тел равны: m₁=1 кг, m₂=5 кг, m₃=2 кг. Коэффициент трения между грузами 1 и 2 =0,2. Трением между грузом 2 и наклонной плоскостью пренебречь. Угол =30⁰.

Ответ: а) а=6,3 м/с²; б) а=5,3 м/с²; в) а=4,3 м/с²; г) а=3,3 м/с²; д) а=2,3 м/с².

1.3.98. Найти ускорение грузов 2 и 3 в системе, изображенной на рисунке 1.98. Массы тел соответственно равны m₁=1 кг, m₂=5 кг, m₃=2 кг. Коэффициент трения между грузами 1 и 2 =0,2. Трением между грузом 2 и наклонной плоскостью пренебречь. Угол =30⁰.

Ответ: а) а=0,74 м/с²; б) а=0,84 м/с²; в) а=0,94 м/с²; г) а=1,04 м/с²; д) а=1,14 м/с².

1.3.99. Найти ускорение куба (рис. 1.99). Масса клина М=2 кг, масса куба – m=1 кг. Угол клина =30⁰. Трением пренебречь.

Ответ: а) а=9,5 м/с²; б) а=8,5 м/с²; в) а=7,5 м/с²;

г) а=6,5 м/с²; д) а=5,5 м/с².

1.3.100. На столе стоит клин массой М=2 кг с углом =30⁰ при основании. По клину без трения едет кубик массой m=1 кг. (рис. 1.100) Какой минимальный коэффициент трения должен быть между столом и клином, чтобы клин покоился?

Ответ: а) =0,14; б) =0,18; в) =0,22; г) =0,26; д) =0,39.

1.3.101. Определить ускорение груза массой m₁ в системе блоков, представленной на рисунке 1.101. Массы тел: m₁=5 кг, m₂=2 кг, m₃=3 кг. Массой блоков и нитей пренебречь. Трение отсутствует.

Ответ: а) а=1,00 м/с²; б) а=0,08 м/с²; в) а= =0,06 м/с²;г) а=0,04 м/с²; д) а=0,02 м/с².

1.3.102. Определить ускорение груза массой m₂ в системе блоков, представленной на рисунке 1.101, если m₁=5 кг, m₂=2 кг, m₃=3 кг. Массой блоков и нитей пренебречь. Трение отсутствует.

Ответ: а) а=1,46 м/с²; б) а=1,56 м/с²; в) а=1,66 м/с²; г) а=1,76 м/с²; д) а=1,86 м/с².

1.3.103. Определить ускорение груза массой m₃ в системе блоков, представленной на рисунке 1.101, если m₁=5 кг, m₂=2 кг, m₃=3 кг. Массой блоков и нитей пренебречь. Трение отсутствует.

Ответ: а) а=-2,36 м/с²; б) а=-2,26 м/с²; в) а=-2,16 м/с²; г) а= =-2,06 м/с²; д) а= -1,96 м/с².

1.3.104. Определить силу натяжения нитей в системе блоков, представленной на рисунке 1.101, если m₁=5 кг, m₂=2 кг, m₃=3 кг. Массой блоков и нитей пренебречь. Трение отсутствует.

Ответ: а) Т=58 Н; б) Т=48 Н; в) Т=58 Н; г) Т=68 Н; д) Т=78 Н.

1.3.105. Невесомая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный блок, пропущена через щель. При движении нити на нее со стороны щели действует постоянная сила трения F_тр=2 Н. На концах нити подвешены грузы m₁=5 кг и m₂=3 кг. Определить ускорение грузов (рис. 1.102).

Ответ: а) а=2,2 м/с²; б) а=2,4 м/с²; в) а=2,6 м/с²; г) а=2,8 м/с²; д) а=3,0 м/с².

1.3.106. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v₀=3 м/с, прошел до остановки расстояние S=20,4 м. Найти коэффициент трения  камня о лед.

Ответ: а) =0,02; б) =0,12; в) =0,08; г) =0,06; д) =0,04.

1.3.107. На покоящееся тело массы m=5 кг налетает со скоростью v=10 м/с тело массы M=10 кг. Сила, возникающая при взаимодействии тел, линейно растет во времени до значения F₀=10 Н за время t₀=10 с, а затем равномерно убывает до нуля за такое же время t₀. Определить скорость первого тела после взаимодействия, считая, что все движения происходят по одной прямой.

Ответ: а) u₁=12 м/с; б) u₁=10 м/с; в) u₁=8 м/с; г) u₁=6 м/с; д) u₁=4 м/с.

1.3.108. На покоящееся тело массы m=5 кг налетает со скоростью v=10 м/с тело массы M=10 кг. Сила, возникающая при взаимодействии тел, линейно растет во времени до значения F₀=10 Н за время t₀=10 с, а затем равномерно убывает до нуля за такое же время t₀. Определить скорость второго тела после взаимодействия, считая, что все движения происходят по одной прямой.

Ответ: а) u₂=18 м/с; б) u₂=20 м/с; в) u₂=22 м/с; г) u₂=24 м/с; д) u₂=26 м/с.

1.3.109. С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вверх с постоянной скоростью v=0,5 м/с. Масса змеи m=5 кг, ее длина =1,5 м.

Ответ: а) F=17,2 Н; б) F=16,2 Н; в) F=15,2 Н; г) F=14,2 Н; д) F=13,2 Н.

1.3.110. Лягушка массы m=0,1 кг сидит на конце доски массы M=5 кг и длины L=3 м. Доска плавает по поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом =30⁰ к горизонту вдоль доски. Какой должна быть начальная скорость лягушки, чтобы она оказалась после прыжка на противоположном конце доски?

Ответ: а) v₀=5,86 м/с; б) v₀=5,96 м/с; в) v₀=5,76 м/с; г) v₀=5,66 м/с; д) v₀=5,56 м/с.

1.3.111. Через блок, укрепленный на краю гладкого стола, перекинута веревка, соединяющая грузы с массой m=1 кг и M=2 кг (рис. 1.103). Стол движется вертикально вверх с ускорением a=2 м/с. Найти ускорение груза m. Трением и массой блока пренебречь.

Ответ: а) a_о=3,6 м/с²; б) a_о=3,4 м/с²; в) a_о=3,2 м/с²; г) a_о==3,0 м/с²; д) a_о=2,8 м/с².

1.3.112. Через блок, укрепленный на краю гладкого стола, перекинута веревка, соединяющая грузы с массой m=1 кг и M=2 кг (рис. 1.103). Стол движется вертикально вверх с ускорением a=2 м/с². Найти силу натяжения веревки, действующей на груз массы m. Трением и массой блока пренебречь.

Ответ: а) Т=8,1 Н; б) Т=7,9 Н; в) Т=7,7 Н; г) Т=7,5 Н; д) Т=7,3 Н.

1.3.113. Через блок, укрепленный на краю гладкого стола, перекинута веревка, соединяющая грузы с массой m=1 кг и M=2 кг (рис. 1.104). Стол движется вертикально вниз с ускорением a=2 м/с. Найти ускорение груза m. Трением и массой блока пренебречь.

Ответ: а) a_о=4,6 м/с; б) a_о=3,6 м/с; в) a_о=2,6 м/с; г) a_о=1,6 м/с; д) a_о=0,6 м/с.

1.3.114. Через блок, укрепленный на краю гладкого стола, перекинута веревка, соединяющая грузы с массой m=1 кг и M=2 кг (рис. 1.104). Стол движется вертикально вниз с ускорением a=2 м/с. Найти силу натяжения веревки m. Трением и массой блока пренебречь.

Ответ: а) Т=8,2 Н; б) Т=7,2 Н; в) Т=6,2 Н; г) Т=5,2 Н;д) Т=4,2 Н.

1.3.115. Груз (рис. 1.105) массы M=2 кг находится на столе, который движется горизонтально с ускорением а=2 м/с² . К грузу присоединена нить, перекинутая через блок. К другому концу нити подвешен груз массы m=1 кг. Найти ускорения грузов.

Ответ: а) а₀=8,7 м/с²; б) а₀=7,7 м/с²; в) а₀=6,7 м/с²; г) а₀=5,7 м/с²; д) а₀=4,7 м/с².

1.3.116. Груз массы M=2 кг находится на столе, который движется горизонтально с ускорением а=2 м/с² (рис. 1.105). К грузу присоединена нить, перекинутая через блок. К другому концу нити подвешен груз массы m=1 кг. Найти силу натяжения нити.

Ответ: а) Т=8,3 Н; б) Т=7,3 Н; в) Т=6,3 Н; г) Т=5,3 Н; д) Т=4,3 Н.

1.3.117. Через блок, перекинута нить, на концах которой привязаны грузы m₁ и m₂, причем m₂=2m₁ (рис. 1.106). Груз m₂ поднимают на столько, чтобы груз m₁ коснулся пола, и отпускают. На какую высоту поднимется груз m₁, после того как груз m₂ ударится о пол, если высота груза m₂ была равна h₂=0,3 м? Массой блока и трением пренебречь.

Ответ: а) h₁=0,6 м; б) h₁=0,5 м; в) h₁=0,4 м;

г) h₁=0,3 м; д) h₁=0,2 м.

1.3.118. Человек жестко связан с резиновым шаром, наполненным водородом. Масса человека вместе с массой шара с водородом в n=1,1 раза больше массы вытесняемого ими воздуха. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить с каким ускорением падает человек с шаром?

Ответ: а) а=0,37 м/с²; б) а=0,47 м/с²; в) а=0,57 м/с²; г) а=0,67 м/с²; д) а=0,67 м/с².

1.3.119. Человек жестко связан с резиновым шаром, наполненным водородом. Масса человека вместе с массой шара с водородом в n=1,1 раза больше массы вытесняемого ими воздуха. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить на какую высоту поднимется человек, если прыгнет вместе с шаром вертикально вверх с такой скоростью, при которой без шара поднялся бы на 0,2 м?

Ответ: а) h=4,2 м; б) h=4,4 м; в) h=4,6 м; г) h=4,8 м; д) h=5,0 м.

1.3.120. Доска А движется по горизонтальному столу под действием силы натяжения привязанной к ней нити. Нить перекинута через прикрепленный к столу блок и прикреплена к другой доске В, падающей вниз (рис. 1.107). Определить натяжение нити Т, если масса доски А m₁=0,2 кг, масса доски В m₂=0,3 кг, коэффициент трения =0,25. Массой блока пренебречь.

Ответ: а) T=1,37 Н; б) T=1,47 Н; в) T=1,57 Н; г) T=1,67 Н;д) T=1,77 Н.

1.3.121. Сфера радиусом R=2 м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой 30 мин^-1. Внутри сферы находится шарик массой m=0,2 кг. Найти высоту, соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы (рис. 1.108).

Ответ: а) h=1,2 м; б) h=1 м; в) h=1,4 м; г) h=1,6 м; д) h=0,8 м.

1.3.122. Сфера радиусом R=2 м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой 30 мин^-1. Внутри сферы находится шарик массой m=0,2 кг. Найти силу реакции сферы N в случае равновесия шарика внутри сферы (рис. 1.109).

Ответ: а) N=0,6 Н; б) N=0,5 Н; в) N=0,4 Н; г) N=0,3 Н; д) N=0,2 Н.

1.3.123. Тонкое резиновое кольцо массой m=6 г надето на горизонтальный диск радиуса R=5 см. Сила натяжения кольца T=0,1 Н. Коэффициент трения между кольцом и диском =0,25 (рис. 1.110). При каком числе оборотов в секунду кольцо спадет с диска?

Ответ: а) n=5,4 об/с; б) n=5,6 об/с; в) n=5,8 об/с; г) n=5,2 об/с; д) n=5,0 об/с.

1.3.124. Металлическая цепочка длины =62,8 см, концы которой соединены, насажена на деревянный диск. Диск вращается с частотой 60 с^-1. Определить силу натяжения цепочки, если ее масса m=40 г.

Ответ: а) Т=70 Н; б) Т=80 Н; в) Т=90 Н; г) Т=60 Н; д) Т=50 Н.

1.3.125. По резиновой трубке, свернутой в виде кольца, циркулирует вода со скоростью v=2 м/с вода. Радиус кольца R=20 см, диаметр трубки d=0,2 см (d<<R). С какой силой растянута трубка?

Ответ: а) T=0,007 Н; б) T=0,009 Н; в) T=0,011 Н; г) T=0,013 Н; д) T=0,015 Н.

1.3.126. Из тонкого резинового жгута массы M=0,2 кг и жесткости k=20 Н/м сделали кольцо радиуса R₀=0,25 м. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найти новый радиус кольца, если его угловая скорость =20 рад/с .

Ответ: а) R=0,22 м; б) R=0,24 м; в) R=0,26 м; г) R=0,28 м; д) R=0,30 м.

1.3.127. Прямой круглый однородный стальной конус имеет высоту h=0,2 м и радиус основания R=0,1 м (рис. 1.111). Найти момент инерции конуса относительно его оси.

Ответ: а) I=1,00 кгм²; б) I=0,09 кгм²;

в) I=0,08 кгм²; г) I=0,07 кгм²; д) I=0,05 кгм².

1.3.128. Прямой круглый однородный стальной конус имеет высоту h=0,5 м и радиус основания R=0,2 м. Конус вращается с угловой скоростью =2 рад/с. Найти момент импульса конуса относительно его оси (рис. 1.112).

Ответ: а) L=7,8 (кгм²)/с; б) L=7,6 (кгм²)/с;

в) L=7,4 (кгм²)/с; г) L=7,2 (кгм²)/с; д) L=7,0 (кгм²)/с.

1.3.129. Определить угловое ускорение блока радиусом R=0,1 м с моментом инерции I=2 кгм², через который перекинута нить с грузами массой m₁=0,5 кг m₂=0,4 кг (рис. 1.113). Трением пренебречь.

Ответ: а) =0,013 с^-2; б) =0,011 с^-2; в) =0,009 с^-2;

г) =0,007 с^-2; д) =0,005 с^-2.

1.3.130. Тонкий обруч радиуса R=0,5 м раскрутили вокруг его оси до угловой скорости =5 с^-1 и положили плашмя на горизонтальную поверхность. Полагая коэффициент трения между поверхностью и обручем =0,2, определить время вращения обруча до полной остановки.

Ответ: а) t=1,20 с; б) t=1,22 с; в) t=1,24 с; г) t=1,26 с; д) t=1,28 с.

1.3.131. Тонкий обруч радиуса R=0,5 м раскрутили вокруг его оси до угловой скорости =5 с^-1 и положили плашмя на горизонтальную поверхность. Полагая коэффициент трения между поверхностью и обручем =0,2, определить сколько оборотов сделает обруч до полной остановки?

Ответ: а) N=0,5 об; б) N=0,6 об; в) N=0,7 об; г) N=0,8 об; д) N=0,9 об.

1.3.132. На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен. при разматывании нить остается параллельной наклонной плоскости с углом наклона =30⁰. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние =1 м (рис. 1.114)? Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью =0,01.

Ответ: а) v=0,39 м/с; б) v=0,41 м/с; в) v=0,43 м/с; г) v=0,45 м/с; д) v=0,47 м/с.

1.3.133. Бревно, высота которого h=3 м и масса m=50 кг, начинает падать из вертикального положения на землю (рис. 1.115). Определить момент импульса бревна в момент падения на землю.

Ответ: а) L=1,5910³ (кгм²)/с;

б) L=1,5610³ (кгм²)/с; в) L=1,5310³ (кгм²)/с;

г) L=1,5110³ (кгм²)/с; д) L=1,4910³ (кгм²)/с.

1.3.134. Два груза соединены нитью длиной =1 м и лежат на поверхности гладкого бревна с радиусом R=0,5 м (рис. 1.116). При равновесии грузов угол между вертикалью и радиусом, проведенным к одному из грузов, равен =30⁰. Найти массу второго груза, если масса первого равна m₁=1 кг.

Ответ: а) m₂=2,7 кг; б) m₂=2,5 кг; в) m₂=2,3 кг; г) m₂=2,1 кг; д) m₂=1,9 кг.

1.3.135. Если связать концы металлической цепочки между собой, привязать цепочку к шнуру и вращать шнур, то цепочка примет форму близкую к окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность, определить силу F натяжения вдоль цепочки, если ее масса m=0,1 кг, длина =0,75 м, цепочка вращается с частотой оборотов, равной n=8 с^-1.

Ответ: а) F=4,0 Н; б) F=4,2 Н; в) F=4,4 Н; г) F=4,6 Н; д) F=4,8 Н.

1.3.136. Два грузика (m₁=100 г, m₂=50 г) привязаны к нитям, длины которых равны ₁=0,28 м, ₂=0,30 м. Другие концы нитей привязаны к третьему грузику, подвешенному на проволоке к крючку (рис. 1.117). Крючок можно вращать вокруг вертикальной оси. Определить частоту вращения, при которой проволочка над грузиком остается вертикальной.

Ответ: а) ν=0,96 с^-1; б) ν=0,94 с^-1;

в) ν=0,92 с^-1; г) ν=0,90 с^-1; д) ν=0,88 с^-1.

1.3.137. Определить момент инерции медного диска радиусом 0,05 м, в котором сделаны два выреза в виде кругов радиусами 2 см (рис. 1.118); центры вырезов находятся на прямой, проходящей перпендикулярно плоскости через его на расстоянии ℓ=2,5 см от него. Толщина диска 0,1 см.

Ответ: а) I=69,1 кгм²; б) I=68,9 кгм²; в) I= =68,7 кгм²; г) I=68,5 кгм²; д) I=68,3 кгм².

1.3.138. На двух нитях подвешен шарик радиусом R=0,01 м. Шарик вращают, нити закручиваются, вследствие чего шарик поднимается (рис. 1.119). Когда было сделано 20 оборотов, шарик поднялся на 1,210^-2 м. Затем шарик отпускают и нити раскручиваются. Определить скорость центра шарика, когда он вернется в первоначальное состояние.

Ответ: а) v=0,7710^-2 м/с; б) v=0,7510^-2 м/с; в) v=0,7310^-2 м/с; г) v=0,7110^-2 м/с; д) v=0,6910^-2 м/с.

1.3.139. На двух нитях подвешен шарик радиусом R=0,01 м. Шарик вращают, нити закручиваются, вследствие чего шарик поднимается (рис. 1.119). Когда было сделано 20 оборотов, шарик поднялся на 1,2 см. Затем шарик отпускают и нити раскручиваются. Определить частоту вращения шарика, когда он вернется в первоначальное состояние.

Ответ: а) ν=18 с^-1; б) ν=16 с^-1; в) ν=14 с^-1; г) ν=12 с^-1; д) ν=10 с^-1.

1.3.140. Тело брошено под углом =45⁰ к горизонту с начальной скоростью v₀=25 м/с (рис. 1.120). Масса тела m=130 г. Найти момент количества движения L относительно точки бросания в момент, когда тело находится в верхней точки траектории движения.

Ответ: а) L=29 (кгм²)/с; б) L=31 (кгм²)/с; в) L=33 (кгм²)/с; г) L=35 (кгм²)/с; д) L=37 (кгм²)/с.

1.3.141. Тело брошено под углом =45⁰ к горизонту (рис. 1.121) с начальной скоростью v₀=25 м/с. Масса тела m=130 г. Найти модуль момента количества движения L тела относительно точки бросания в момент падения тела на Землю.

Ответ: а) L=0,710² (кгм²)/с; б) L=0,910² (кгм²)/с; в) L= =1,110² (кгм²)/с; г) L=1,310² (кгм²)/с; д) L=1,510² (кгм²)/с.

1.3.142. Момент количества движения двух материальных точек с массами m₁=2 кг и m₂=3 кг в системе отсчета, связанной с их центром инерции, равен L_c=1,510² (кгм²)/с. Чему равен момент количества движения L этих точек относительно начала координат инерциальной системы К, в которой центр инерции движется с постоянной скоростью v=20 м/с? Радиус–вектор центра инерции в системе К равен R=1 м.

Ответ: а) L=5,510² (кгм²)/с; б) L=4,510² (кгм²)/с; в) L=3,510² (кгм²)/с; г) L=2,510² (кгм²)/с; д) L=1,510² (кгм²)/с.

1.3.143. Найти численное значение момента количества движения L Земли относительно собственной оси вращения. Плотность Земли =5,510³ кг/м³.

Ответ: а) L=2,210³³ (кгм²)/с; б) L=3,210³³ (кгм²)/с; в) L=4,210³³ (кгм²)/с; г) L=5,210³³ (кгм²)/с; д) L=6,210³³ (кгм²)/с.

1.3.144. Стержень пренебрежимо малой массы может вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки О. На расстояниях r₁=30 см и r₂=20 см от точки О укреплены два шарика одинаковой массы m (рис. 1.122). Система выводится из положения неустойчивого равновесия и отпускается с нулевой скоростью. Трения нет. Найти скорость шарика 1 в момент, когда он проходит нижнюю точку.

Ответ: а) v=1,45 м/с; б) v=1,55 м/с; в) v=1,65 м/с; г) v=1,75 м/с; д) v=1,85 м/с.

1.3.145. Однородный цилиндр радиуса R=0,2 м скатывается без скольжения с наклонной плоскости (рис. 1.123), составляющей с горизонтом угол =30⁰ . Угловая скорость вращения цилиндра =5 с^-1. Найти время t, за которое угловая скорость цилиндра возрастет вдвое.

Ответ: а) t=0,51 с; б) t=0,41 с; в) t=0,31 с; г) t=0,21 с; д) t=0,11 с.

1.3.146. Расположенный вертикально однородный стержень длины =1 м может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В точку, отстоящую от оси вращения на ⅔, ударяется тело массы m=0,2 кг, летящее перпендикулярно к стержню и к оси (рис. 1.124). После удара стержень отклоняется на угол =30⁰, а тело отскакивает назад со скоростью v=5 м/с. Найти начальную скорость тела v₀. Масса стержня M=10 кг.

Ответ: а) v₀=54,8 м/с; б) v₀=44,8 м/с; в) v₀=34,8 м/с; г) v₀=24,8 м/с; д) v₀=14,8 м/с.

1.3.147. Найти изменение угловой скорости  вращения планеты вокруг собственной оси в том случае, когда на ее поверхность упадет метеорит массы m=10³ кг, летящей в плоскости экватора планеты со скоростью v=810³ м/с под углом =60⁰ к вертикали (рис. 1.125). Масса планеты M=5,9610²⁴ кг, ее радиус R=6,410⁶ м, угловая скорость =7,310^-5 с^-1.

Ответ: а) =0,3310^-24 с^-1; б) =0,4310^-24 с^-1; в) =0,5310^-24 с^-1; г) =0,6310^-24 с^-1; д) =0,7310^-24 с^-1.

1.3.148. Определить момент инерции I_x (рис. 1.126) трехатомной молекулы типа H₂O относительно оси x, проходящей через центр инерции С (ось z перпендикулярна плоскости xy). Межъядерное расстояние d=0,097 нм, валентный угол =104⁰30^'.

Ответ: а) I_x=1,0510^-47 кгм²; б) I_x=1,1510^-47 кгм²; в) I_x==1,2510^-47 кгм²; г) I_x=1,3510^-47 кгм²; д) I_x=1,4510^-47 кгм².

1.3.149. Определить момент инерции I_y трехатомной молекулы типа H₂O относительно оси y (рис. 1.126), проходящей через центр инерции С (ось z перпендикулярна плоскости xy). Межъядерное расстояние d=0,097 нм, валентный угол =104⁰30^'.

Ответ: а) I_y=1,9610^-47 кгм²; б) I_y=1,8610^-47 кгм²; в) I_y=1,7610^-47 кгм²; г) I_y=1,6610^-47 кгм²; д) I_y=1,5610^-47 кгм².

1.3.150. Определить момент инерции I_z трехатомной молекулы типа H₂O относительно оси z (рис. 1.126), проходящей через центр инерции С (ось z перпендикулярна плоскости xy). Межъядерное расстояние d=0,097 нм, валентный угол =104⁰30^'.

Ответ: а) I_z=2,0110^-47 кгм²; б) I_z=3,0110^-47 кгм²; в) I_z=4,0110^-47 кгм²; г) I_z=5,0110^-47 кгм²; д) I_z=6,0110^-47 кгм².

1.3.151. Горизонтальная подставка совершает в вертикальном направлении гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: . На платформе лежит шайба из абсолютно неупругого материала (рис. 1.127). На какую высоту h будет подниматься шайба над положением платформы, отвечающем среднему ее положению, в случае, если y₀=0,2 м, =10 с^-1?

Ответ: а) h=0,45 м; б) h=0,35 м; в) h=0,25 м; г) h=0,15 м; д) h=0,05 м.

1.3.152. Бревно массы M=20 кг висит на двух шнурах длины =1 м каждый. В торец бревна попадает и застревает в нем пуля массы m=10 г, летящая со скоростью 500 м/с (рис. 1.128). Найти период колебаний бревна.

Ответ: а) Т=5 с; б) Т=4 с; в) Т=3 с; г) Т=2 с; д) Т=1 с.

1.3.153. Груз массой m осторожно прикрепляют к концу свободно висящей пружины (рис. 1.129). Когда груз освобождают, он опускается на =0,3 м, а затем начинает колебаться. Чему равна частота колебаний ?

Ответ: а) =0,51 Гц; б) =0,61 Гц; в) =0,71 Гц; г) =0,81 Гц; д) =0,91 Гц.

1.3.154. Математический маятник отклонили на 90⁰ от вертикали и отпустили(рис. 1.130). В тот момент, когда маятник проходил положение равновесия, точка его подвеса стала двигаться вверх с ускорением а=2 м/с². На какой максимальный угол отклонится маятник от вертикали?

Ответ: а) =80,2⁰; б) =82,2⁰; в) =84,2⁰; г) =86,2⁰; д) =88,2⁰.

1.3.155. Через блок массы M=5 кг и радиуса R= =0,1 м, который является сплошным однородным цилиндром, на шнуре подвешен груз массы m=1 кг. Другой конец шнура скреплен через пружину жесткости k= =10³ Н/м с опорой. Цилиндр может вращаться вокруг оси без трения (рис. 1.131). Пренебрегая проскальзыванием шнура по блоку найти частоту  малых колебаний груза, когда амплитуда колебаний А=5 см.

Ответ: а) =16,9 с^-1; б) =17,9 с^-1; в) =18,9 с^-1; г) =19,9 с^-1; д) =20,9 с^-1.

1.3.156. Через блок массы M=5 кг и радиуса R=0,1 м, который является сплошным однородным цилиндром, на шнуре подвешен груз массы m=1 кг. Другой конец шнура скреплен через пружину жесткости k=10³ Н/м с опорой. Цилиндр может вращаться вокруг оси без трения (рис. 1.131). Пренебрегая проскальзыванием шнура по блоку найти максимальную силу натяжения шнура слева F_1m от блока в случае, когда амплитуда колебаний А=5 см.

Ответ: а) F_1m=70 Н; б) F_1m=60 Н; в) F_1m=50 Н; г) F_1m=40 Н; д) F_1m=30 Н.

1.3.157. Через блок массы M=5 кг и радиуса R=0,1 м, который является сплошным однородным цилиндром, на шнуре подвешен груз массы m=1 кг. Другой конец шнура скреплен через пружину жесткости k=10³ Н/м с опорой (рис. 1.131). Цилиндр может вращаться вокруг оси без трения. Пренебрегая проскальзыванием шнура по блоку найти максимальную силу натяжения шнура справа F_2m от блока в случае, когда амплитуда колебаний А=5 см.

Ответ: а) F_2m=28 Н; б) F_2m=26 Н; в) F_2m=24 Н; г) F_2m=22 Н; д) F_2m=20 Н.

1.3.158. Два шара с массами m₁=2 кг и m₂=3 кг скользят вдоль тонкого горизонтального стержня (рис. 1.132). Шары скреплены невесомой пружиной, коэффициент жесткости которой равен k=10³ Н/м. Раздвинув шары, их затем отпускают. Определить частоту ν возникающих колебаний.

Ответ: а) ν=48,9 с^-1; б) ν=38,9 с^-1; в) ν=28,9 с^-1; г) ν=18,9 с^-1; д) ν=8,9 с^-1.

1.3.159. Два шара с массами m₁=2 кг и m₂=3 кг скользят вдоль тонкого горизонтального стержня (рис. 1.132). Шары скреплены невесомой пружиной, коэффициент жесткости которой k=10³ Н/м. Раздвинув шары, их затем отпускают. Определить максимальное значение относительной скорости шаров, если начальное относительное смещение шаров x=0,2 м.

Ответ: а) v_max=8,8 м/с; б) v_max=7,8 м/с; в) v_max=6,8 м/с; г) v_max=5,8 м/с; д) v_max=4,8 м/с.

1.3.160. Два шара с массами m₁=2 кг и m₂=3 кг скользят вдоль тонкого горизонтального стержня (рис. 1.132). Шары скреплены невесомой пружиной, коэффициент жесткости которой k=10³ Н/м. Затем шару массы m₁ сообщили скорость v₀=0,2 м/с. Определить энергию W_p поступательного движения системы.

Ответ: а) W_p=1,0 Дж; б) W_p=1,2 Дж; в) W_p=1,4 Дж; г) W_p=1,6 Дж; д) W_p=1,8 Дж.

1.3.161. Два шара с массами m₁=2 кг и m₂=3 кг скользят вдоль тонкого горизонтального стержня (рис. 1.132). Шары скреплены невесомой пружиной, коэффициент жесткости которой k=10³ Н/м. Затем шару массы m₁ сообщили скорость v₀=0,2 м/с. Определить энергию W_k колебательного движения системы.

Ответ: а) W_k=2,4 Дж; б) W_k=3,4 Дж; в) W_k=4,4 Дж; г) W_k=5,4 Дж; д) W_k=6,4 Дж.

1.3.162. Два шара с массами m₁=2 кг и m₂=3 кг скользят вдоль тонкого горизонтального стержня (рис. 1.132). Шары скреплены невесомой пружиной, коэффициент жесткости которой k=10³ Н/м. Затем шару массы m₁ сообщили скорость v₀=0,2 м/с. Определить амплитуду x_max колебаний.

Ответ: а) x_max=1,4 м; б) x_max=1,2 м; в) x_max=1,0 м; г) x_max=0,8 м; д) x_max=0,6 м.

1.3.163. Маятник в виде грузика, подвешенного на нити длиной 50 см, колеблется в кабине самолета. Определить период колебаний маятника, если самолет движется горизонтально с линейным ускорением а=2,5 м/с². Лобовым сопротивлением самолета пренебречь.

Ответ: а) Т=0,42 с; б) Т=1,42 с; в) Т=2,42 с; г) Т=3,42 с; д) Т=4,42 с.

1.3.164. Маятник в виде грузика, подвешенного на нити длиной 0,50 м, колеблется в кабине самолета. Определить период колебаний маятника, если самолет планирует вниз под углом =15⁰ к горизонту. Лобовым сопротивлением самолета пренебречь.

Ответ: а) Т=1,70 с; б) Т=1,60 с; в) Т=1,50 с; г) Т=1,40 с; д) Т=1,30 с.

1.3.165. Маятник в виде маленького шарика, подвешенного на нити длиной =0,1 м, находится в жидкости, плотность которой в n=1,2 раза меньше плотности шарика. Определить период колебаний маятника, пренебрегая сопротивлением жидкости (рис. 1.133).

Ответ: а) Т=4,1 с; б) Т=3,1 с; в) Т=2,1 с; г) Т=1,1 с; д) Т=0,1 с.

1.3.166. Тонкая прямоугольная пластинка может совершать колебательные движения относительно оси, лежащей в ее плоскости и перпендикулярной к одной из ее сторон, длина которой =0,2 м (рис. 1.134). Определить период колебаний такого физического маятника, если ось совпадает с верхней стороной пластинки.

Ответ: а) Т=0,33 с; б) Т=0,43 с; в) Т=0,53 с; г) Т=0,63 с; д) Т=0,73 с.

1.3.167. Некоторое тело качается около оси с периодом Т₁=0,5 с. Если же к нему прикрепить грузик с массой m=0,05 кг на расстоянии =10 см ниже оси (рис. 1.135), то оно качается с периодом Т₂=0,6 с. Найти момент инерции тела относительно оси качания.

Ответ: а) I=1,810^-5 кгм²; б) I=1,610^-5 кгм²; в) I=1,410^-5 кгм²; г) I=1,210^-5 кгм²; д) I=1,010^-5 кгм².

1.3.168. Определить период Т свободных колебаний груза массы m=1 кг, закрепленного между двумя пружинами с различными коэффициентами жесткости k₁=200 Н/м k₂=300 Н/м. Трением груза и пружин о подставку, а также массами пружин пренебречь (рис. 1.136).

Ответ: а) Т=1,09 с; б) Т=0,99 с; в) Т=0,89 с; г) Т=0,79 с; д) Т=0,69 с.

1.3.169. Два диска, имеющих одинаковые радиусы R₁=R₂=0,5 м, но разные массы m₁=2 кг m₂=3 кг (рис. 1.137), могут совершать колебательные движения относительно оси, проходящей через центры дисков перпендикулярно к их плоскостям. Диски соединены пружиной, у которой коэффициент кручения (коэффициент пропорциональности между моментом силы и углом закручивания) равен k= =20 Нм/град. Определить период Т, с которым будут колебаться диски, если их повернуть вокруг оси в противоположные стороны и отпустить.

Ответ: а) Т=0,44 с; б) Т=0,54 с; в) Т=0,64 с; г) Т=0,74 с; д) Т=0,84 с.

1.3.170. Обруч (рис. 1.138) радиуса r=0,1 м может катиться без проскальзывания по внутренней поверхности цилиндра радиуса R=0,6 м. Определить период движения центра обруча, считая угол  малым.

Ответ: а) Т=2 с; б) Т=3 с; в) Т=4 с; г) Т=5 с; д) Т=6 с.

1.3.171. Найти период колебания маятника, изображенного на рисунке 1.139. Стержень, на котором помещены массы m₁=1 кг и m₂=2 кг, считать невесомым. Расстояния ℓ₁=0,5 м, а ℓ₂=1 м.

Ответ: а) Т=1,1 с; б) Т=1,3 с; в) Т=1,5 с;

г) Т=1,7 с; д) Т=1,9 с.

1.3.172. Определить период колебаний маятника, состоящего из однородного полукольца радиуса r=0,5 м, подвешенного на невесомых нитях ОА и ОВ, как показано на рисунке 1.140.

Ответ: а) Т=1,48 с; б) Т=1,58 с; в) Т=1,68 с; г) Т=1,78 с; д) Т=1,88 с.

1.3.173. На рисунке 1.141 изображена механическая система, состоящая из груза массы m=0,1 кг, пружины А с коэффициентом упругости k=200 Н/м и блока массы M=0,5 кг. Груз посредством нити, перекинутой через блок, связан с пружиной. Найти период колебаний груза, если блок представляет собой тонкостенный цилиндр.

Ответ: а) Т=0,54 с; б) Т=0,44 с; в) Т=0,34 с; г) Т=0,24 с; д) Т=0,14 с.

1.3.174. Закрепленная на концах струна, длиной ℓ=1,50 м, растянута с силой F=10,0 Н. К середине струны прикреплен точечный груз массы m=1,00 кг. Определить период малых колебаний прикрепленного груза. Массой струны пренебречь. Силу тяжести не учитывать (рис. 1.142).

Ответ: а) Т=1,12 с; б) Т=1,22 с; в) Т=1,32 с; г) Т=1,42 с; д) Т=1,52 с.

1.3.175. Груз (рис. 1.143) массы m висит на двух одинаковых пружинах, соединенных последовательно. Во сколько раз изменится период вертикальных колебаний груза, если последовательное соединение пружин заменить параллельным соединением?

Ответ: а) T₁/T₂=2; б) T₁/T₂=2,5; в) T₁/T₂=3,0; г) T₁/T₂=3,5; д) T₁/T₂=4.

1.3.176. Два математических маятника массы m=0,5 кг и длины ℓ=1 м каждый связаны невесомой пружиной так, показано на рисунке 1.144. Коэффициент упругости пружины k=200 Н/м. При равновесии маятники занимают вертикальное положение, и пружина не деформирована. Определить частоты малых колебаний двух связанных маятников в случаях, когда маятники отклонены в одной плоскости на равные углы в разные стороны (колебания совершаются в противоположных фазах).

Ответ: а) Т=0,22 с^-1; б) Т=0,32 с^-1; в) Т=0,42 с^-1; г) Т=0,52 с^-1; д) Т=0,62 с^-1.

1.3.177. Математический маятник отклонили на 90⁰ от вертикали и отпустили. В тот момент, когда маятник проходил положение равновесия, точка его подвеса стала двигаться вниз с ускорением а=2 м/с² (рис. 1.145). На какой максимальный угол отклонится маятник от вертикали?

Ответ: а) =90,2⁰; б) =80,2⁰; в) =70,2⁰; г) =60,2⁰; д) =50,2⁰.

1.3.178. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600 г, то период колебаний возрастает в 2 раза. Определить массу первоначально подвешенного груза.

Ответ: а) m₁=0,10 кг; б) m₁=0,15 кг; в) m₁=0,20 кг; г) m₁=0,25 кг; д) m₁=0,30 кг.

1.3.179. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний Т₁=0,5 с (рис. 1.146). После того как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равным Т₂=0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза?

Ответ: а) ℓ=2,110^-2 м; б) ℓ=2,310^-2 м; в) ℓ=2,510^-2 м; г) ℓ=2,710^-2 м; д) ℓ=2,910^-2 м.

1.3.180. Ареометр массой m=0,2 кг плавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начинает совершать колебания с периодом Т=3,4 с. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости , в которой плавает ареометр (рис. 1.147). Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра d=1 см.

Ответ: а) =0,5910³ кг/м³; б) =0,6910³ кг/м³; в) =0,7910³ кг/м³; г) =0,8910³ кг/м³; д) =0,9910³ кг/м³.