7. 10. Дифференциальное уравнение вида
Уравнение данного вида решается путем повторного интегрирования n раз.
Интегрируем уравнение
;
;
.
Аналогично можно получить
,
……………………………………………………………………
.
Пример 7.16.
Решить дифференциальное уравнение
при начальных условиях
.
Находим
.
Подставим
,
получим
.
.
Находим
=
.
Подставим начальные
значения
в полученное равенство, найдем значение
.
.
Таким образом, общее решение
,
Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
.
7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка
1.
Дифференциальные уравнения вида
,
в которых функция
не зависит от y,
решаются с помощью подстановки
.
Находим
и подставляем в исходное уравнение,
получаем дифференциальное уравнение
относительно p
.
Если удастся найти решение данного
уравнения
,
то решение исходного уравнения найдется
как интеграл
.
Пример
7.17.
Решить уравнение
при
.
Принимаем
.
Уравнение примет вид
.
Разделим переменные
.
Далее интегрируем
уравнение
.
.
Получаем общее
решение
.
Находим частное
решение. Из уравнения
находим
.
;
.
Из общего решения
находим
.
;
.
Частное решение
.
2.
Дифференциальные уравнения вида
,
не содержащие в явном виде x,
решаются с помощью замены
.
Производную
в данном случае представим в виде
.
В результате замены
уравнение приобретает вид
.
Если удается найти общее решение этого
уравнения
,
то далее интегрируют уравнение
.
Данное уравнение с разделяющимися
переменными. Разделим переменные и
проинтегрируем
,
найдем общий интеграл
.
Пример
7.18.
Решить уравнение
.
Выполняем замену
,
получаем
или
.
Разделяем переменные
и интегрируем
.
Так как
,
далее необходимо решить уравнение
.
Находим
.
В зависимости от
начальных условий
может принять либо положительное, либо
отрицательное значение.
Если
,
то
,
и общий интеграл уравнения имеет вид
.
Если
,
то
и
общий интеграл
имеет вид
.
7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений
В общем случае данные уравнения имеют вид
,
где
непрерывные функции.
Обозначим левую
часть дифференциального уравнения,
линейную относительно y
и ее
производных через
,
т. е.
.
Тогда уравнение
можно записать в виде
.
Этому неоднородному уравнению
соответствует однородное уравнение
.
Свойство 1.
Если
и
являются решениями однородного уравнения
,
то их сумма
также является решением этого уравнения.
Действительно, в силу линейности функции
.
Свойство 2.
Если
является решением уравнения
,
то
,
где
,
также является решением этого уравнения.
Действительно,
.
Свойство 3.
Если
являются решениями уравнения
,
то
,
где
постоянные также является решением
этого уравнения.
В силу линейности уравнения имеем
.
Свойство 4.
Если
являются решениями однородного уравнения
,
а
решением неоднородного уравнения
,
то
также является решением неоднородного
уравнения.
Действительно,
.