1.4. Частные случаи движения точки

Движение точки с постоянной по модулю скоростью называют равномерным, т.е. const или const. Следовательно,

при криволинейном движении

; (1.13)

при прямолинейном движении, например, вдоль оси x

(1.14)

Движение, при котором касательное ускорение точки не изменяется, называют равнопеременным, т.е. const. Следовательно,

при криволинейном движении

, (1.15)

при прямолинейном движении

(1.16)

Пример. Движение снаряда в вертикальной плоскости (рис. 1.6) описывают уравнениями: x = 300 t, м; y = 400 t – 5t², м, где t – время, с.

Определить:

– траекторию, скорость и ускорение снаряда в начальный и конечный моменты времени;

– высоту подъема снаряда над уровнем горизонта H и дальность обстрела L;

– радиус кривизны траектории в ее начальной, конечной и наивысшей точках.

Решение

Найдем уравнение траектории, исключив из уравнения движения y = 400 t – 5t² (м) время t. Сначала из уравнения x = 300 t определим t = , а затем получим уравнение траектории в следующем виде: . Траекторией снаряда в координатах х и у вертикальной плоскости является парабола.

Вычислим проекции скорости и ускорения снаряда на координатные оси:

Определим их значения в начальный момент времени t = 0:

;

Высоту подъема снаряда над уровнем горизонта можно определить, исследовав на экстремум функции y(t) по переменной t. Это означает, что с точки зрения кинематики проекция скорости точки на ось y в рассматриваемый момент времени должна быть равна нулю. Тогда где – время подъёма снаряда на максимальную высоту, с. Подставляя данное значение времени в выражение для y, получим y_max = H = y(40) = 8 км. Дальность обстрела определим из условия, что в момент падения снаряда функция y(t) принимает нулевое значение , где – время полета снаряда. Корень этого квадратного уравнения, соответствующий падению снаряда на землю, с, откуда дальность полета х_max = х(80) = 24 км.

Теперь, зная время полета снаряда, можно определить его скорость и ускорение в конце полета. Подставляя время в выражение для проекции скорости снаряда на ось y, получим м/с. Проекции скорости и ускорения на ось x не зависят от времени и постоянны в течение полета. Таким образом, снаряд движется с постоянным ускорением, равным 10 м/с² и направленным вертикально вниз, а его скорость в конце полета равна по модулю скорости в начале его м/с и составляют с осью x одинаковые углы.

Для определения радиуса кривизны перейдем к кинематическим характеристикам движения снаряда в естественной системе отсчета.

Вначале найдем касательное ускорение по формуле

,

а затем вычислим его для начального момента времени

и для конечного

Теперь можно посчитать нормальное ускорение по формуле , а затем и . Поскольку радиус кривизны траектории входит в формулу , то

Радиусы кривизны траектории в начале и в конце полета одинаковы. В наивысшей точке траектории

;

Как видно из приведенного примера, уравнения движения точки содержат все необходимое для исследования характеристик ее движения в любой момент времени.