1.2.3. Перевозка грузов

В современных условиях большие транспортные расходы связаны с простоями в ожидании обслуживания на погрузочно-разгрузочных работах, встречными и нерациональными перевозками, затратами на горючее, техническое обслуживание и заработную плату водителей. В связи с этим необходимо решать задачи оптимального планирования перевозок грузов в производственной деятельности из пунктов отправления (баз, станций, фабрик, элеваторов, заводов) в пункты назначения (магазины, склады) методами, позволяющими оптимизировать план по какому-либо экономическому показателю, например, финансовых затрат или времени на перевозку грузов.

Для решения подобного рода задач в линейном программировании существуют специально разработанные методы, а задачи такого рода называют транспортными задачами.

Построение экономико-математической модели.

Имеется т пунктов отправления (поставщиков) грузов:

,

на которых сосредоточены запасы некоторого однородного и делимого груза в объемах соответственно:

Величины определяют максимально возможные размеры вывоза груза с пунктов отправления. Суммарный запас груза поставщиков составляет . Кроме того, имеется п пунктов назначения:

которые подали заявки на поставку груза в объемах соответственно:

Суммарная величина заявок составляет .

Стоимость перевозки единицы груза от поставщика к потребителю известна. Она составляет (транспортный тариф), то есть известна матрица тарифов перевозок .

В качестве критерия оптимальности выбираем суммарные издержки по перевозке груза.

Экономико-математическая модель задачи зависит от соотношения суммарной величины заявок и суммарного запаса груза .

Если суммарные запасы груза в пунктах отправления равны сумме заявок пунктов назначения, т.е.

, (1.1.6)

то модель транспортной задачи называется закрытой.

В противном случае модель транспортной задачи называется открытой, причем возможны два варианта:

суммарный спрос больше

(1.1.7)

и меньше

(1.1.8)

суммарного предложения.

В каждом из трех перечисленных случаев экономические постановки и математические модели транспортной задачи различны.

Рассмотрим экономическую постановку и математическую модель закрытой транспортной задачи, т.е. случай, когда суммарный спрос равен суммарному предложению (1.1.6). Тогда транспортная задача формулируется следующим образом: необходимо составить оптимальный план перевозок, т.е. найти такие значения объема перевозок груза от поставщиков к потребителям , чтобы вывезти все грузы от поставщиков, удовлетворить заявки каждого потребителя и обеспечить минимальные транспортные расходы на перевозку груза.

Все исходные данные транспортной задачи можно записать в виде, так называемой транспортной таблицы:

				…		…
				…		…
				…		…
				…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
				…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
				…		…

Задача заключается в определении плана перевозок , который удовлетворяет следующим условиям:

и обеспечивает минимальное значение целевой функции

.

Теперь рассмотрим экономическую постановку и математическую модель открытой транспортной задачи для случая (1.1.7), когда суммарный спрос больше суммарного предложения.

Необходимо составить план перевозок товаров от поставщиков к потребителям, при котором все грузы от поставщиков вывозятся полностью; заявки потребителей, по возможности, удовлетворены, и суммарные транспортные расходы на перевозку груза являются минимальными.

В этом случае запись математической модели транспортной задачи будет отличаться от предыдущей записи заменой системы ограничений системой , которая отражает факт того, что заявки потребителей удовлетворяются не полностью.

И, наконец, рассмотрим экономическую постановку и математическую модель открытой транспортной задачи для случая (1.1.8), когда суммарный спрос меньше суммарного предложения.

Необходимо составить план перевозок товаров от поставщиков к потребителям, при котором заявки потребителей удовлетворяются полностью; от поставщиков товары, по необходимости, вывозятся, и суммарные транспортные расходы на перевозку товаров являются минимальными.

Очевидно, что запись математической модели транспортной задачи в этом случае будет отличаться от записи математической модели транспортной задачи закрытого типа заменой системы ограничений на систему , которая отражает тот факт, что от поставщиков товары вывозятся не полностью.