Глава 1. Графическое представление критерИев

Изучая курс «Теория и методы принятия решений» в бакалавриате, вы заметили определенное сходство и принципиальные различия между критериями выбора. Рассмотрим их более подробно. При этом разберем способ действия различных кри­териев как путем их взаимного сравнения, так и, насколько это возможно, с помощью соответствующих графических представ­лений.

При этом (в особенности с точки зрения последующих бо­лее общих построений) целесообразно сначала ввести в рас­смотрение функцию вместо конечного числа значений , , . Здесь представляет собой пере­менную для возможных состояний, а – переменную для ре­шений (мы используем при этом то положение, что в зависимо­сти от заданного состояния требуется выбрать подходящее значение переменной решения ), которые принадлежат беско­нечным, вообще говоря, областям (для возможных состоя­ний) и (для переменных решения):

, , .

Случай конечных множеств вариантов решений и состояний, только и рассматривавшийся ранее, получается в этой поста­новке для конечных множеств и . Имея в виду наглядность графической интерпретации, ограничимся в дальнейшем двумя состояниями и , тогда как переменной решения мы поз­волим принадлежать бесконечной, вообще говоря, области . При этом для состояний и, соответственно, в зависимос­ти от решения получаются результаты и, со­ответственно, , откладываемые по осям прямоуголь­ной системы координат , рис. 1.1.

Точка на -плоскости представляет тем самым результаты варианта решения , соответствующие обоим состояниям и .

Рис. 1.1. Функция предпочтения

В случае конкретного критерия, оценочная функция которо­го при наличии двух состояний и есть функция вели­чин и , то есть , после подстановки вместо и вместо с помощью равенства

(1.1)

задается семейство линий уровня. Функцию мы называем функцией предпочтения (соответствующей данному критерию). Для большинства критериев задача состоит в максимизации ре­зультата. Если в какой-либо конкретной ситуации с конечным числом вариантов решения , , имеется точек , , , , в области по­лезности, то точка , отвечающая наивысшему уров­ню , определяет оптимальный вариант решения .

Часто бывает так, что семейство линий уровня получается параллельными переносами некоторой линии вдоль какой-либо прямой на плоскости ; назовем эту прямую направляю­щей .

Можно представить себе при этом, например, семей­ство конусов предпочтения для -критерия, вершины которых лежат на направляющей . В этом случае оптимальный ва­риант решения (для рассматриваемых здесь критериев) полу­чается просто за счет того, что линия уровня сдвигается до тех пор, пока она в последний раз задевает область полезности – именно, в точке наивысшего уровня.

1.1. Критерии с прямоугольными конусами предпочтения

1.1.1. Минимаксный критерий

Для мини­максного критерия, задаваемого равенством

,

получаем в двумерном случае (, , ) в качестве линий уровня семейство кривых

,

зависящее от параметра . Это означает, что на линии уровня, соответствующей параметру , лежат в точности те точки плос­кости , для которых значение меньшей из координат и равно , то есть для которых расстояние до ближайшей коор­динатной оси равно (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Функции предпочтения -критерия

Чтобы найти теперь оптимальный вариант решения, выбираем на биссектрисе первого квадранта произвольную, однако достаточно близкую к началу координат точку, чертим, исходя из нее, конус предпоч­тения, задаваемый как раз соответствующими линиями уровня, после чего всю систему, состоящую из указанных точки и кону­са, переносим по биссектрисе до тех пор, когда нам в последний раз встречается одна из точек , (рис. 1.3). Каждой такой точке соответствует максимально достижимый уровень и тем самым оптимальный вариант решения.

Рис. 1.3. Графический выбор решения в соответствии с ММ-критерием