Лінійні операції над векторами

До лінійних операцій над векторами відносяться додавання векторів, віднімання векторів та множення вектора на число.

1. При додаванні (відніманні) векторів їх відповідні координати додаються (віднімаються).

Якщо , , тоді .

2. При множенні вектора на число кожна його координата множиться на це число.

Якщо і , тоді .

Перехід вектора до нового базису

Нехай у просторі є два базиси: старий, що утворений векторами і новий, що утворений векторами . Знайдемо залежність між координатами вектора у різних базисах. Нехай у старому базисі вектор має координати і у новому базисі , тоді розклад вектора через вектори і вектори набуде вигляду

. (1)

Кожний з векторів нового базису можна виразити як лінійну комбінацію векторів старого базису

(2)

Перехід до нового базису здійснюється за допомогою матриці переходу

.

Підставимо значення із системи (2) у ліву частину виразу (1), одержимо

(3)

Прирівняємо коефіцієнти біля у лівій і правій частині виразу (3) і одержимо систему

(4)

Представимо систему (4) у матричній формі запису

або . (5)

Приклад: В базисі векторів задано вектори , і . Знайти координати вектора у новому базисі.

Розв’язання. За означенням базису, вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні. Перевіримо, чи є вектори лінійно незалежними. Складемо лінійну комбінацію цих векторів

, (6)

(7)

Система (7) є лінійною однорідною, знайдемо розв’язок за допомогою визначників

.

Так як визначник системи відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок .

Як бачимо, лінійна комбінація векторів (6) дорівнює нульовому вектору при умові, що всі коефіцієнти дорівнюють нулю, тому вектори є лінійно незалежними і утворюють базис.

Знайдемо зв’язок між старим і новим базисами. У базисі векторів розклад векторів має вигляд

Матриця переходу .

Координати вектора у новому базисі, що утворений системою векторів визначаються за формулою (5)

Знайдемо обернену матрицю до матриці переходу .

Значить координати вектора у базисі векторів мають вигляд

а його розклад .

Умова колінеарності двох векторів

Умовою колінеарності двох векторів є пропорційність їх відповідних координат. Якщо , координати векторів і , тоді за умовою колінеарності

.

Приклад: Перевірити, чи є вектори і колінеарними.

Розв’язання

За умовою колінеарності двох векторів або після скорочення

. Значить .