5. Адекватність і прогноз сумарної моделі тренда

Після вмикання істотних гармонік у періодичну складову й одержання моделі залежності тренду часового ряду у вигляді суми неперіодичної і періодичної складових, тобто у вигляді

(53)

проводиться перевірка адекватності цієї моделі за критерієм Фішера. Обчислюється

(54)

де

, (55)

(56)

P - число коефіцієнтів у моделі (52).

Якщо , то модель адекватна, у противному випадку неадекватна, із довірчою ймовірністю . - табличне значення критерію Фішера для рівня значимості і числа ступенів свободи T-1 і T-p.

Зауваження 5. Покажемо, що у випадку неістотності К^ої гармоніки (при перевірці значимості RK за формулою (51)) ця гармоніка буде неістотною й у сумарній моделі. Це питання розглянемо не в загальному випадку, що утруднено, а на прикладі моделі

, (57)

Знайдемо розрахункові значення критерію Стьюдента для коефіцієнтів a, b, R1, R2 у моделі (57) за формулами (25).

Для цього визначимо за (23) їхню коваріаційну матрицю. Матриця , t=1; 2; . . . ; T. Тоді матриця моментів

(58)

З огляду на формули (50), отримаємо

(59)

(60)

Тоді за формулами (23) - (24) стандартні помилки коефіцієнтів у моделі (57)

.

(61)

Тому що підкореневі вираження y і більше , то і

k = 1; 2.

Тоді розрахункові значення критерію Стьюдента для коефіцієнтів R1 і R2 у моделі (57)

k = 1; 2.

Де обчислені за (52). Отже, якщо не значимо для моделі (46), тобто то  і не значимо для сумарної моделі (57). Тому несуттєві гармоніки для моделі (46) не включаються в сумарну модель (57).

Зауваження 6. Коефіцієнти a, b, R1, R2 у моделі (57) визначаються за формулою (13) і, мабуть, вони будуть відрізнятися від аналогічних коефіцієнтів у моделях неперіодичної і періодичної складових тренду і . Але в силу трудомісткості обчислень за формулою (13) можна зупинитися на моделі (53), якщо перевірка за критерієм Неймана покаже відсутність автокореляції залишків у цієї моделі.

У випадку адекватності моделі й використанні її для прогнозу необхідно знайти довірчі інтервали регресії і прогнозу. Можна показати [4], що “правдиве” значення тренду часового ряду лежить у межах

, (62)

де - вектор факторів сумарної лінійної від параметрів моделі (52), узятих у момент часу t, а - коваріаційна матриця від цих факторів.

Довірчі інтервали для індивідуальних прогнозних значень рівні

(63)

- критичне значення критерію Стьюдента, знайдене для числа ступенів свободи T - p і рівня значимості .

6. Завдання і його виконання

Розглянемо застосування вищевикладених методів при виконанні завдання на тему: виділення неперіодичної і періодичної складових тренду часового ряду.

Часовий ряд: 25, 86; 17,79; 13,2; 8,78; 6,63; 6,6; 5,94; 3,44; 1.76; 1.8; 4.66; 9.15. Обсяг T=12.

Рішення.

1) Для визначення вигляду залежності в тренді будуємо кореляційне поле часового ряду, тобто наносимо на площину TOY точки (t; Y(t)) t = 1; 2; 3; . . . ; 12. (Мал. 1).

З вигляду кореляційного поля випливає, що зі збільшенням t Y(t) зменшується. Форма ламаної Y(t) показує, що у якості оцінки залежності (моделей) тренду можуть бути взяті криві (3) і (4), тобто

та

Невідомі параметри a, b, c, d шукаємо з нормальних систем рівнянь (19), (20). Для цього обчислюємо

Y

26

25

20

15

10

5

1

T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Малюнок 1

Після підстановки знайдених сум у (19) , (20) одержимо системи нормальних рівнянь і вирішимо їхнім методом винятку невідомих

У результаті одержимо моделі залежності тренду

З двох отриманих моделей вибираємо кращу, в котрої найменша . Для цього обчислюємо і

У результаті отримали

Тоді

Тому, що перша сума менше за другу, то перша залежність є кращою моделлю тренду, чим друга.

Проведемо статистичний аналіз отриманої залежності. Тому, що у випадку регресій (2) - (5) для перевірки адекватності моделі досить перевірити значимість відмінності від нуля коефіцієнта b (див. Зауваження 2 і 3), то знайдемо для цього за формулами (23), (24) і за (25) розрахункове значення критерію Стьюдента

Тоді

і

Тому, що табличне значення критерію Стьюдента t (0, 05; 10)=2,23, то коефіцієнт b значимо відрізняється від нуля, отже, модель адекватна. Адекватність моделі можна перевірити й за формулами (26), (27), використовуючи критерій Фішера. Ця перевірка більш трудомістка і робиться для числа факторів у моделі , тобто у випадку залежностей (6) і (7).

Для перевірки слушності вибору отриманої моделі визначимо наявність автокореляції в залишках, позначивши . Для цього за критерієм Неймана обчислимо за (31)

Тоді .

З таблиці 1 для рівня значимості і n = 12 одержуємо критичне значення критерію Неймана на Тому що , то з довірчою імовірністю 0,95 маємо позитивну автокореляцію залишків . Це говорить про те, що в залишках є в наявності невиявлена залежність. Для визначення форми цієї залежності нанесемо кореляційне поле на площину TOX (мал. 2)

X(t)

5

4

3

2

1

T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1

-2

-3

Малюнок 2

Тому, що на графіку значні коливання, причому різної амплітуди, то невиявлена залежність періодична. Візьмемо як модель даної залежності

; T=12.

Невідомі коефіцієнти порахуємо за формулами (37), узявши m=2.

Аналогічно отримаємо

Обчислимо , амплітуди гармонік за формулами (41) .

Знайдемо

.

Тому що для рівня значимості критичне значення критерію Стьюдента , то з усіх гармонік значима тільки перша: . Всі інші незначущі, в силу того, що менше : .

У результаті отримали періодичну складову

Включивши її в сумарну залежність, одержали модель тренду

Для перевірки адекватності отриманої моделі знайдемо за (54) розрахункове значення критерію Фішера.

Одержимо .

Тому, що , то сумарна модель адекватна тренду часового ряду.