1.5.2. Систематизация и анализ вариантов уравнений динамики

Все приведённые выше уравнения получены одним – кинетостатическим – методом динамики сооружений, но раз-личаются, во-первых, своим смыслом и, во-вторых, основными неизвестными.

Так, уравнения ( 1.14 ) и ( 1.15 ) ( в матричной записи – ( 1.16 ) и ( 1.15*)) – кинематические ( независимо от того, какие величины – перемещения или силы инерции – присутствуют в них в качестве неизвестных ), так как описывают динамические перемещения масс ( точнее – перемещения точек рассчитывае-мой системы в местах расположения сосредоточенных масс ). В качестве характеристики деформативных свойств системы при-сутствует матрица податливости

Уравнения ( 1.24 ) и ( 1.27 ) ( матричные – ( 1.26 ) и ( 1.28 )) – статические, поскольку формулируют условия равновесия ( по Д’Аламберу ) изначально в виде ( 1.19 ). Свойства системы ха-рактеризуются матрицей жёсткости.

По смысловой аналогии с классическими методами сил и перемещений часто вышеуказанные уравнения первой группы называются уравнениями динамики в форме метода сил, а вто-рой группы – в форме метода перемещений, хотя и с возмож-ным использованием основных неизвестных разных типов ( в классических методах двойственность основных неизвестных отсутствует ).

Представленные выше варианты уравнений движения деформируемых систем сведены в таблицу 1.2 – для удобства сопоставления и рационального выбора для применения к реше-нию частных задач.

Заметим, что принципиально возможно построение урав-нений динамики в форме смешанного метода, где часть основ-ных неизвестных – функции перемещений, а остальные – функ-ции инерционных сил. Теоретически это представляет интерес, так как из уравнений смешанного типа другие могут быть полу-чены как частные случаи. Но практической ценности этот под-ход не имеет из-за сложности расчётной реализации.

Таблица 1.2

Варианты уравнений движения линейно деформируемой системы

с конечным числом степеней свободы масс ( обычная и матричная формы записи ) – общий случай

Основные неизвестные		С м ы с л у р а в н е н и й
		А. К и н е м а т и ч е с к и е – описание перемещений масс ( точек системы ) c использованием матрицы податливости	Б. С т а т и ч е с к и е – условия равновесия системы ( по Д‘Аламберу ) с использованием матрицы жёсткости
1	Переме- щения масс y(t)	+ yi (t) = =	+ kf, i+= = –,
2	Инерци- онные силовые факторы J(t)	+Ji (t) = = –	+ kf,i+= =, + kf += =

Из общих уравнений легко выводятся уравнения для на-иболее важных частных случаев движения и постановок задач:

 без учета внутреннего трения и сопротивления внешней среды;

 свободное движение;

 собственные колебания;

 установившиеся вынужденные гармонические колебания от

вибрационных воздействий.

В табл. 1.3, структура которой сохранена аналогичной таб-лице 1.2, даны уравнения в случае пренебрежения рассеянием энергии, когда коэффициенты вязкого сопротивления принима-ются равными нулю ( при этом из расчётных схем по рис. 1.14 и 1.20 исключаются диссипативные силы F_D (t) ).

Таблица 1.3

Уравнения движения для консервативной системы

	А*	Б*
1*	+ yi (t) = =	+= = –,
2*	Ji (t) = = –	+= =, +=

При рассмотрении свободного движения ( когда внеш-ние воздействия отсутствуют ) правые части уравнений таблицы 1.2 обнуляются, т. е. получаются однородные дифференциаль-ные уравнения; результаты – в табл. 1.4, где п.п. «а» и «б» отно-сятся к решениям с учётом и без учёта диссипации соответст-венно.

Таблица 1.4

Уравнения в случае свободного движения

	А0	Б0
10	а) yi (t) = 0; б) yi (t) = 0, а) б) = 0	а) + kf, i+ += 0; б) += 0, а) б) = 0
а) 20	+Ji (t) = 0; б) +Ji (t) = 0, а) = 0; б) = 0	а) + kf,i+ += 0; б)+= 0, а) + kf += 0 ; б) += 0

У двух следующих частных случаев – собственных и уста-новившихся вынужденных колебаний от вибрационных воздей-ствий в консервативных системах ( без рассеяния энергии ) фор-мально общим является моногармоническое синфазное движе-ние всех масс, описываемое законом ( 1.1 ) для собственных ко-лебаний и y_i (t) = y_i sin ( _F t + ₀ ), i = 1, 2, ..., n для вынужденных.

ния:

Из ( 1.2 ) при этом следует, что инерционные силовые фак-торы изменяются во времени по тому же закону, что и перемеще-

( 1.29 )

т. е. ( 1.30 )

или – ( 1.31 )

«закон инерции» при гармоническом движении массы: сила инер-ции прямопропорциональна перемещению массы и направлена в ту же сторону.

Уравнения собственных колебаний как частного случая свободного движения получаются подстановкой ( 1.1 ) в зависи-мости 1₀А₀, б и 1₀Б₀, б ( без учёта диссипации ) таблицы 1.4 и со-отношения ( 1.29 ) – в 2₀А₀, б и 2₀Б₀, б. Поскольку и сами величи-ны y(t), J(t), и их вторые производные содержат в качестве мно- жителя одну и ту же функцию f(t) = sin ( t + ₀ ), не равную нулю в призвольный момент времени t, то после сокращения всех чле-нов любого из указанных уравнений на f(t), получаем их уже не как дифференциальные, а как однородные линейные алгебраи-ческие, в которых основными неизвестными являются ампли-туды перемещений или сил инерции. Разделив все уравнения в варианте ( в амплитудах инерционных сил ), для компактности записи, на ², представляем их в виде, приведённом в табл. 1.5.

Аналогично в случае установившихся вынужденных коле-баний от вибрационных воздействий, когда временные функции задаются как (t) = sin ( _F t + ₀ ), неизвестные y(t) и J(t) опи-сываются во времени той же функцией sin ( _F t + ₀ ). Тогда, ис-пользуя данные таблицы 1.3, тем же путём, что для собственных колебаний, получаем алгебраические уравнения, линейные относительно амплитуд y и J, но уже неоднородные ( табл. 1.6 ).

Таблица 1.5

Собственные колебания

	– yi = 0, – –2 y = 0	– += 0, –= 0
	––2Ji = 0, = 0	– Ji += 0, – J += 0

Таблица 1.6

Установившиеся гармонические вынужденные колебания

	А	Б
1	yi = – – y = – P	–+= – –= – RP
2	– Ji = = = – P	– Ji += = – – J += –RP

уравнений ( табл. 1.4 и 1.5 ).

Анализируя данные таблиц 1.2 – 1.6, можно убедиться в том, что уравнения, располагающиеся в столбцах Б, Б*, …, Б_ ( в форме метода перемещений ) формально математически полу-чаются ( удобно в матричной форме ) путём умножения соответ-ствующих уравнений в форме метода сил из столбцов А, А*, …, А_ на матрицу  ^{– 1} = r – особенно очевидно это для однородных

Как уже отмечалось ранее ( см. с. 26 ), для получения пол-ного решения задачи динамики в общем случае уравнения с пе-ремещениями в качестве основных неизвестных ( строки 1, 1*, 1₀ таблиц 1.2 – 1.4 ) более удобны, так как позволяют получать не-обходимые силовые факторы простой процедурой дифференци-рования найденных функций y(t). Кроме того, эти уравнения в вариантах с матрицей жёсткости ( столбцы Б, Б* и Б₀ ) наи-более приспособлены к компьютерной реализации по методу конечных элементов.

Тем не менее, в ряде частных случаев движения приме-нение уравнений с инерцонными силами в качестве основных неизвестных может быть оправданным:

– при кинематических возмущениях, когда смещение основания представлено акселерограммой, т. е. графиком изменения уско-рений ( известна временная функция ), что типично для сейс-мических воздействий;

– при гармонических колебаниях ( собственных или от вибраци-онных воздействий), когда уравнения в амплитудах инерционных сил, причём с матрицей податливости ( варианты и 2_A_ ), получаются более компактными ( их развёрнутые записи приво-дятся далее в п.п. 1.5.4 и 1.5.5 ) – это выгодно в «ручных» рас-чётах.

Для стержневых систем некоторый интерес – преимущест-венно с исторической и методической точек зрения, представ-ляют уравнения движения, составленные не для заданной систе-мы, а для основной соответствующего классического метода – сил, перемещений или смешанного. Сведения об этом даны в Приложении.

Особо отметим, что выписанные выше уравнения во всех вариантах позволяют получать решения для систем с одной сте-пенью свободы масс: для этого в них следует положить n = 1, тогда искомое уравнение совпадает с матричной записью, когда все матрицы – первого порядка, т. е. представляют собой одиноч-ные числа и функции ( см., например, 1Б в табл.1.2 для общего случая вынужденного движения или 1₀ Б₀ , а в табл. 1.4 для сво-бодного движения ). Это формальное сходство решений простей-шей задачи ( n = 1 ) и при произвольном числе степеней свободы позволяет распространить качественные выводы и представле-ния, относящиеся к системам с n = 1 ( этому уделяется большое внимание во всех базовых учебниках [ 1, 2 и др. ] ) на сложные системы – это касается качественной оценки диссипации, явле-ний резонанса, принципов управления динамическим состояни-ем сооружений и конструкций, предотвращения вредного влия-ния динамических воздействий и др.). Так, при рассмотрении случая свободного движения системы с одной степенью свободы с учётом рассеяния энергии по 1₀ Б₀ , а получается формула для угловой частоты затухающих колебаний:

, ( 1.32 )

где c = r₁₁ – коэффициент жёсткости системы по направлению

движения массы; k_f – по ( 1.3 ).

Из ( 1.32 ) следуют некоторые принципиальные соображе-ния, имеющие важное прикладное инженерное значение:

 уменьшение массы m при прочих неизменных параметрах системы приводит к увеличению частоты свободных колебаний;

 с увеличением жёсткости с ( за счёт изменения характеристик упругости материала, размеров поперечных сечений элементов или структуры системы ) частота увеличивается;

 увеличение вязкости окружающей среды и внутреннего тре-

ния уменьшает частоту .

Таким образом, несмотря на то, что по отношению к массе и упругая система, и вязкая внешняя среда ( а по формальной ана-логии – и факторы внутреннего трения ) являются связями, они влияют на частоту прямо противоположным образом. Причина этого – в их физических свойствах: упругая связь ( в её роли вы-тупает линейно деформируемая система ) в процессе движения аккумулирует энергию в обратимой форме как потенциальную энергию упругой деформации, трансформируя её в определён-ные промежутки движения в кинетическую энергию, а вязкие связи необратимо рассеивают энергию в тепловой форме.

. ( 1.33 )

В большинстве расчётов строительных конструкций харак-

теристики диссипации таковы, что ( k_f /2 )² /m << c , тогда частоту

собственных колебаний можно вычислять по формуле