3.5.2. Негармоническое кинематическое воздействие

Рассмотрим расчёт на смещение основания, изменяющееся

в

(t)

о времени как импульс:



t



(t) = ( рис. 3.52 ), где  cм;

 = t / T₀ ; T₀ = 0,6 c ;

з

0

десь  играет роль Р₁ ( см. с. 26 ).

T₀

T₀ / 3

В случае заданного обратносим-

метричного воздействия используем

п

Рис. 3.52

риём разделения системы по оси

симметрии ( см. п. 1.6 ). Схема поло-

вины рамы представлена на рис. 3.53. Матрица её упругой по-

y₂(t)

y₄(t)

датливости по направлениям пе-

m₍₂₎

m₍₁₎

ремещений масс, полученная пре-

(t)

y₃(t)

m₍₃₎

EI₂

c₁

образованием компонентов ранее

EI₁

составленной матрицы, такова:

c₂

y₁(t)

Рис. 3.53 Матрица масс:

m = m₍₃₎ 1,5m₍₁₎+ m₍₂₎ m₍₂₎+ m₍₃₎ m₍₁₎ =

= 21 т 12 т 25,5 т 5 т ; a = a₁ a₂ a₃ a₄ = 4,2 2,4 5,1 1 ; m₀ = m₍₁₎ = 5 т .

Решение системы уравнений вынужденного движения 1*А* ( табл. 1.3 ) строим по методу конечных разностей ( см. п. 1.5.3 ) в форме ( 1.36 ) во временном интервале [ 0; 2T₀ ] с шагом t = = T₀ / 40 = 0,008 c, равным примерно 1/4 минимального периода собственных колебаний. Уравнения для некоторого расчётного момента времени t_j = t при найденных выше значениях ком-

понентов матриц  и a имеют следующий вид:

4,2( y_{1, j–1} – 1,84762 y_{1, j} + y_{1, j+1} ) + 2,4( y_{2, j–1} – 2 y_{2, j} + y_{2, j+1} ) = B₀

4,2( y_{1, j–1} – 2y_{1, j} + y_{1, j+1} ) + 67,9( y_{2, j–1} – 1,990574 y_{2, j} + y_{2, j+1} ) +

+3,1875( y_{3, j–1}– 2y_{3, j} + y_{3, j+1} ) – 0,6875( y_{4, j–1} – 2 y_{4, j} + y_{4, j+1} ) = B₀

1,5( y_{2, j–1} – 2 y_{2, j} + y_{2, j+1} ) + 3,1875( y_{3, j–1} – 1,799216 y_{3, j} + y_{3, j+1} ) +

+ 0,3125( y_{4, j–1} – 2 y_{4, j} + y_{4, j+1} ) = B₀

–1,65( y_{2, j–1} – 2 y_{2, j} + y_{2, j+1} ) + 1,59375( y_{3, j–1} – 2 y_{3, j} + y_{3, j+1} ) +

+ 0,49858( y_{4, j–1} – 0,692765 y_{4, j} + y_{4, j+1} ) = B₀

где B₀ == 0,64 м³ ; _1c = _2c =  ; _3c = _4c = 0 ; _j = (t_j).

Эти группы конечно-разностных уравнений (КРУ) записы-ваются для всех расчётных значений времени от t₁ до t₈₀ – всего 320 уравнений с 328 неизвестными ( с y_{i, 0} по y_{i, 81} , i = 1, 2, 3, 4 ). Баланс количеств неизвестных и уравнений обеспечивается учё-

том начальных условий движения четырёх масс: y_{i, 0} = 0; откуда y_i,1 = y_i,2 / 8 ( из кубической аппроксимации пере-

мещений по точкам t = 0, t = t и t = 2t ).

В системе КРУ матрица коэффициентов

A = ; её повторяющийся блок A_d :

A_d =.

В блоке А₀ отражены начальные условия:

А₀ =.

Компоненты вектора В вычисляются по значениям функ-ции (t_j). При t > T₀ движение системы происходит как свобод-ное; соответствующие конечно-разностные уравнения – одно-родные ( _j = 0 ).

В результате решения системы линейных алгебраических уравнений получены по 80 значений каждой из функций y₁(t), …, y₄(t). Построенные по ним графики изменения во времени го-ризонтальных перемещений y₁(t) (фундамента) и y₂(t) (ригеля) представлены на рис. 3.54, а, а вертикальных y₃(t) и y₄(t) – на рис. 3.54, б ( с укрупнённым масштабом ординат ). На рис. 3.54, а дополнительно показан также график заданного смещения (t).

y₁(t), y₂(t), см

Г о р и з о н т а л ь н ы е п е р е м е щ е н и я м а с с

0,2

0,4

0,6

0,8

– 0,4

– 0,6

0

y₁(t)

y₂(t)

0,3

0,4

0,5

(t)

t, с

а)

0,2

T₀

0,1

0,6

– 0,2

– 0,8

y₃(t), y₄(t), см

В е р т и к а л ь н ы е п е р е м е щ е н и я м а с с

0,16

0

0,12

0,08

0,04

y₃(t)

y₄(t)

t, с

б)

0,2

0,3

0,4

0,1

0,6

0,5

– 0,08

– 0,04

– 0,12

– 0,16

Рис. 3.54

Хорошо видно, что наиболее интенсивное ( горизонтальное ) движение масс ригеля происходит с доминированием низкочас-тотной компоненты по основному тону собственных колебаний. В остальных перемещениях явно наблюдаются сочетания ( в раз-ных пропорциях ) трёх гармоник с 1-й, 2-й и 3-й собственными частотами^*). Высокочастотная составляющая, конечно, также присутствует, но отследить её по графикам y_i(t) затруднительно.

Динамические изгибающие моменты в раме определяются через силы инерции: M_dyn(t) = M₂ J₂(t) + M₄ J₄(t), где моменты М₂

и М₄ от J₂ =1 и J₄ =1 – соответственно каки на рис. 3.49.

Силы инерции вычисляются через ускорения: J₂(t) = – ;

J₄(t) = –, а ускорения рассчитываются по конечно-разност-ной формуле через найденные

перемещения y_{i, j} ( i = 2, 4; j = 1, …, 81 ). На рис. 3.55 приведены результаты вычисления инерционных сил.

J₂(t), J₄(t), кН

15

J₂(t)

10

5

t, с

0,6

0,5

0

J₄(t)

0,3

0,4

0,1

0,2

– 5

– 10

– 15

Рис. 3.55

Эти графики, полученные по вторым производным от y₂(t) и y₄(t), более детально выявляют спектральный состав переме-щений масс и соответствующих сил инерции: в изменении силы J₂(t) отчётливо заметны гармонические составляющие первых двух главных форм собственных колебаний с периодами Т₁ = = 0,519 с и Т₂ = 0,127 с; а в J₄(t) преобладают 3-я и 4-я формы с Т₃ = 0,114 с и Т₄ = 0,033 с.

^*) Заметим, что 2-я и 3-я частоты собственных колебаний рассчитывае-

мой рамы мало отличаются друг от друга: ₃ : ₂ = 1,11.

Для двух характерных сечений – I ( у верха стойки ) и II ( в месте расположения массы m₍₁₎ ) имеем:

M_{I, dyn}(t) = 4 м; M_{II, dyn}(t) = 2 м– 1 м.

Максимальные значения этих моментов:

M_{I, dyn, max} = 4 м; M_{II, max} =max [ J₂(t) – 0,5 J₄(t)], где

max J₂(t) = 17,45 кН при t = 0,275 с; max [ J₂(t) – 0,5 J₄(t)] = 17,33 кН

при t = 0,274 с; тогда M_{I, dyn, max} = 69,8 кН; M_{II, max} = 34,66 кН.

Аналогично как тестовый выполнен конечно-разностный расчёт рамы на вибрационное смещение основания, рассмотрен-ное в п. 3.5.1, где дано точное решение. Начальные условия дви-

жения масс заданы в виде y_{i, 0} = 0; = _c y_i

Найденные перемещения представлены в таблице в сопо-ставлении со значениями, вычисленными по точным выражени-

ям y_i (t) = y_i sin _c t с амплитудами y_i из п. 3.5.1.

Время t, с	Перемещения, см
	y1(t)	y2(t)	y3(t)	y4(t)
0	0 (0)	0 (0)	0 (0)	0 (0)
Тс /8 = = 0,0694	0,4672 (0,4678)	2,9028 (2,9031)	0,0578 (0,0578)	–0,0605 (–0,0605)
Тс /4 = = 0,1389	0,6620 (0,6616)	4,109 (4,106)	0,0819 (0,0818)	–0,0856 (–0,0855)
3Тс /8 = = 0,2083	0,4677 (0,4678)	2,9026 (2,9031)	0,0578 (0,0578)	–0,0605 (–0,0605)
Тс /2 = = 0,2778	–0,00023 (0)	–0,0070 (0)	–0,00017 (0)	0,00018 (0)
5Тс /8 = = 0,3472	–0,4676 (–0,4678)	–2,9063 (–2,9031)	–0,0579 (–0,0578)	0,0606 (0,0605)

Примечание: в скобках – точные значения.

Погрешности в определении перемещений не превышают 0,21 % от соответствующих амплитуд.

В заключение напомним, что, во-первых, никаких принципиальных труд-ностей в расчёт по методу конечных разностей не вносит учёт диссипации энергии, в результате чего может быть выявлено затухание во времени коле-баний в стадии свободного движения; а во-вторых, если это необходимо, то вычисление перемещений может быть продолжено в следующем временном интервале ( см. п. 1.5.3 ).