Тема 6. Кривые второго порядка.
Алгебраической
кривой второго порядка в
системе координат
называется кривая
,
общее
уравнение
которой имеет вид:
,
где
числа
-
не равны нулю одновременно. Существует
следующая классификация кривых второго
порядка: 1)
если
,
то общее уравнение определяет кривую
эллиптического
типа
(окружность (при
),
эллипс (при
),
пустое множество, точку); 2)
если
,
то - кривую гиперболического
типа
(гиперболу, пару пересекающихся прямых);
3)
если
,
то - кривую параболического
типа (параболу,
пустое множество, прямую, пару параллельных
прямых) . Окружность, эллипс, гипербола
и парабола называются невырожденными
кривыми второго порядка.
Общее
уравнение
,
где
,
определяющее невырожденную кривую
(окружность, эллипс, гиперболу, параболу),
всегда (методом выделения полных
квадратов) можно привести к уравнению
одного из следующих видов:
1а)
- уравнение
окружности с центром в точке
и радиусом
(рис. 5).
1б)
- уравнение эллипса с центром в точке
и осями симметрии, параллельными
координатным осям. Числа
и
- называются полуосями
эллипса;
прямоугольник со сторонами
,
параллельными осям симметрии и центром
в точке
- основным
прямоугольником эллипса; точки
пересечения основного прямоугольника
с осями симметрии - вершинами
эллипса.
Для
построения эллипса в системе координат
:1)
отмечаем центр
эллипса; 2)
проводим через центр пунктирной линией
оси симметрии эллипса; 3)
строим пунктиром основной прямоугольник
эллипса с центром
и сторонами
,
параллельными осям симметрии; 4)
изображаем сплошной линией эллипс,
вписывая его в основной прямоугольник
так, чтобы эллипс касался его сторон
только в вершинах эллипса (рис.6) .
Аналогично
строится и окружность, основной
прямоугольник которой имеет стороны
(рис. 5).
Рис.5 Рис 6
2)
- уравнения гипербол (называемых
сопряжёнными)
с центром в точке
и осями симметрии, параллельными
координатным осям. Числа
и
- называются полуосями
гипербол;
прямоугольник со сторонами
,
параллельными осям симметрии и центром
в точке
- основным
прямоугольником гипербол; точки
пересечения основного прямоугольника
с осями симметрии - вершинами
гипербол; прямые
,
проходящие через противоположные
вершины основного прямоугольника –
асимптотами
гипербол.
Для
построения гиперболы в системе координат
:
1)
отмечаем центр гиперболы
;
2)
проводим через центр
пунктирной линией оси симметрии
гиперболы; 3)
строим пунктиром основной прямоугольник
гиперболы с центром
и сторонами
и
параллельными осям симметрии; 4)
проводим
через противоположные вершины основного
прямоугольника пунктирной линией
прямые, являющиеся асимптотами гиперболы,
к которым неограниченно близко, при
бесконечном удалении от начала координат,
приближаются ветви гиперболы, не
пересекая их; 5)
изображаем сплошной линией ветви
гиперболы
(рис. 7) или гиперболы
(рис. 8).
Рис.7 Рис.8
3а)
- уравнение параболы с вершиной в точке
и осью симметрии, параллельной координатной
оси
(рис. 9).
3б)
- уравнение параболы с вершиной в точке
и осью симметрии, параллельной координатной
оси
(рис. 10).
Для
построения параболы в системе координат
:
1)
отмечаем вершину параболы
;
2)
проводим через вершину
пунктирной линией ось симметрии параболы;
3)
изображаем сплошной линией параболу,
направляя её ветвь, с учётом знака
параметра параболы
:
при
-
в положительную сторону координатной
оси, параллельной оси симметрии параболы
(рис. 9а и 10а); при
- в отрицательную сторону координатной
оси (рис.9б и 10б) .
Рис. 9а Рис. 9б
Рис. 10а Рис. 10б