6. Метод граничных элементов

Вернемся к уравнению Пуассона ( 1 .0) с граничными условиями ( 1 .1) и ( 1 .2). Его решение u_m, как и ранее, разыскивается в виде ( 1 .3). Обратная формулировка этой задачи ( 1 .9)

получена взвешиванием невязок уравнения ( 1 .0) и граничных условий ( 1 .1), ( 1 .2) по всей области  и границам _Q и _U, соответственно. Если все взвешивающие функции _k удовлетворяют уравнению Лапласа

, (6.0)

из предыдущего выражения следует соотношение ( 1 .10) для значений искомой функции u_m и ее производной на границах _Q и _U,

.

Пример 6.1 (из книги [2]). Рассматривается дифференциальное уравнение

с граничными условиями .

С помощью функции w взвешиваются невязки дифференциального уравнения, получаемые на приближенном решении , удовлетворяющем заданным граничным условиям:

.

Первое слагаемое под знаком интеграла преобразуется по частям,

.

Здесь учтено, что в силу заданных граничных условий

, .

Подстановка полученного соотношения в интегральное уравнение приводит к выражению

.

Пусть пробная взвешивающая функция w удовлетворяет уравнению

,

тогда интегральное выражение преобразуется к более простому виду

.

Это соотношение является линейным алгебраическим уравнением относительно значений и (на левом конце задано значение функции u, на правом конце – значение производной ).

Решением дифференциального уравнения является функция

,

где А и В – константы интегрирования. Подстановка этой функции приводит к выражению

.

В силу независимости коэффициентов А и В приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно искомых значений и ,

Поскольку

, ,

решением задачи являются значения

.

В результате получены значения искомой функции и ее производной на концах рассматриваемого отрезка без непосредственного решения исходного дифференциального уравнения.

Фундаментальное решение

Обратимся к уравнению ( 6 .0). Потребуем, чтобы взвешивающие функции удовлетворяли уравнению¹

, (6.1)

где (x – x_k) – дельта-функция Дирака, – точка, где -функция обращается в бесконечность. Выражение (1.10) преобразуется к виду

. (6.2)

Это соотношение позволяет определить значение u_m искомой функции в точке x_k внутри области , поскольку все величины, входящие в подынтегральные выражения, стоящие в правой части, либо заданы граничными условиями, либо уже найдены из решения уравнения ( 1 .10).

Пример 6.2. Для рассмотренной выше задачи из примера 6.1 необходимо построить фундаментальное решение и определить значение искомой функции для точки x_k, лежащей внутри рассматриваемого отрезка [0, 1]. Фундаментальным решением для этой задачи является функция, удовлетворяющая уравнению

.

Убедимся, что функция

.

является искомым фундаментальным решением.

Пусть x > x_k. В этом случае r = x – x_k. Дифференцирование дает

.

Подставка этих значений в уравнение приводит к выражению

.

Пусть x < x_k. В этом случае r = x_k – x. Аналогично предыдущему случаю определяются производные,

.

Подстановка этих значений в проверяемое уравнение дает

.

Пусть x = x_k. Теперь r = 0, и, следовательно, дифференциальное уравнение терпит разрыв в рассматриваемой точке. Для проверки выполнения условий, накладываемых на –функцию, выполняется интегрирование дифференциального уравнения,

.

Таким образом показано, что функция действительно является фундаментальным решением. Выражение

,

полученное в примере 6.1, с учетом уравнения принимает форму

,

позволяющую определить значение функции в точке x_k. Подстановка фундаментального решения в это уравнение приводит к решению

.

Точное решение рассмотренной задачи имеет вид

.

Пример 6.3. Рассмотрим уравнение ( 6 .1), записанное для трехмерной бесконечной области с изотропными свойствами. Поле _k, порождаемое точечным источником, имеющим координаты (x_i, y_i, z_i), в этом случае зависит лишь от расстояния между источником и произвольной точкой (x, y, z). Решением является функция

.

Для сферической системы координат оператор Лапласа имеет вид

.

Поскольку решение задачи не зависит от направления, определяемого углами , уравнение ( 6 .1) принимает вид (источник находится в начале системы координат, r = 0)

.

Дифференцирование решения дает выражения

,

при подстановке которых дифференциальное уравнение для удовлетворяется тождественно, поскольку . Для исследования случая r = 0 рассматривается шар радиуса  с центром в начале координат (здесь находится точечный источник). Интегрирование уравнения ( 6 .1) по этому шару с использованием теоремы Гаусса [9] приводит к выражению,

.

Подстановка сюда требуемой производной дает

.

При интегрировании учтено, что на поверхности сферы r =  = const. Но это как раз и означает выполнение уравнения ( 6 .1) независимо от величины радиуса сферы, поскольку . В табл. 1 Приложения представлен ряд фундаментальных решений из монографии [2] для некоторых дифференциальных уравнений.

При получении уравнения ( 6 .2) предполагалось, что точечный источник располагается внутри области . Рассмотрим случай, когда особая точка попадает на границу области, например, . Рассматривается часть области Г_Q с точкой x_k (рис. 6 .0), причем эта особая точка окружена внешней полусферой  с радиусом, равным .

Рис. 6.0. Попадание точечного источника на границу Г_Q области 

Рассматривается выражение

, (6.3)

где _Q –  – поверхность _Q без круга, вырезанного полусферой . Производная в подынтегральном выражении равна

и на поверхности сферы постоянна, причем r = . Второе слагаемое в левой части выражения ( 6 .3) равно

,

где – среднее по поверхности полусферы  значение u_m.

Отсюда следует

.

Первое слагаемое соотношения ( 6 .3) преобразуется к виду

.

Здесь соответствует границе Г_Q с выколотой точкой x_k. Для другого интеграла, входящего в соотношение ( 6 .2), выполняются аналогичные преобразования:

,

,

,

где – среднее по поверхности полусферы  значение Q. В итоге, после преобразований получается выражение

,

. (6.4)

В случае попадания особой точки на границу Г_U результат преобразований получается аналогичным. Выражение ( 6 .4) позволяет определять искомое решение на всей границе Г области  не прибегая к построению решений уравнения ( 6 .0), используя лишь фундаментальное решение, что значительно сокращает необходимые вычислительные ресурсы.

Для удобства последующих преобразований вводятся обозначения:

Пусть граница Г области  аппроксимируется набором граничных элементов в виде отрезков прямых Г_j. Пусть N_U элементов принадлежат границе Г_U и N_Q элементов – границе Г_Q, то есть всего N = N_U + N_Q элементов. В этом случае на границе Г_U неизвестны N_U величин , на границе Г_Q подлежат определению N_Q значений u_m. Всего N = N_U + N_Q неизвестных.

В пределах каждого элемента Г_j значения и считаются постоянными и приведенными к центру этого элемента. Поскольку вся граница представляется объединением

,

выражение ( 6 .4) можно преобразовать к виду

,

где – величины, подлежащие определению, _k – функция, являющаяся фундаментальным решением уравнения ( 6 .1) при точечном источнике, расположенном в центре k-го граничного элемента.

Пусть

Теперь выражение ( 6 .4) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений

, (6.5)

каждое из которых получается при помещении точечного источника последовательно в центры всех граничных элементов. В системе уравнений ( 6 .5) содержатся 2N величин . Однако из них известны N_U величин на границе Г_U и N_Q значений на границе Г_Q. Следовательно, система N уравнений ( 6 .5) содержит ровно N величин, подлежащих определению.

После решения этой системы уравнений и определения решения на границе Г области  выражение ( 6 .2) позволяет отыскать искомое решение в любой точке x_k, лежащей внутри исследуемой области. В этом случае функция _k является фундаментальным решением уравнения Пуассона с точечным источником, расположенным в точке x_k.