33.5. Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы типа(называемые интегралами от дифференциального бинома) ,где а, b - действительные числа; m, n, р - рациональные числа, берутся, как показал Чебишев П.А., лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел р, (m+1)/n или (m+1)/n+р является целым.

Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:

1) если р - целое число, то подстановка х=t^k, где k - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) если (m+1)/n - целое число, то подстановка где s —знаменатель дроби р;

3) если (m+1)/n+р - целое число, то подстановкагде s - знаменатель дpоби р.

Во всех остальных случаях интегралы типане выражаются через известные элементарные функции,т. е. «не берутся».

Пример 33.8. Найти интеграл

Решение: Так как

то

Поэтому делаем подстановку

Таким образом,

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от cоo6paзительности, от трениpoвaннocти. Например, можно найти, не используя рекoмeндyeмyю подстановку tgx=t, а применив искусственный прием:

Вряд ли стоит вычислять интеграл

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дpоби:

Заметив, что числитель 3x^2+4х+1 является производной знаменателя х(х^2+2х+1)=х^3+2х^2+х, легко получить:

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(x) является также элементарной функцией, говорят, что «берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интегралтак как не существует элементарной фyнкции, производная от которой была бы равна Приведем еще примеры «небepyщиxcя» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:

- интеграл Пуассона (теория вероятностей),

- интегральный логарифм (теория чисел),

- интегралы Френеля (физика),

- интегральные синус и косинус,

- интегральная показательная функция.

Первooбразные от функциии других хорошо изучены, для них составлены пoдpобныe таблицы значений для различных значений аргумента х.

§ 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1). С помощью точек х0=а, x1, х2, ..., хn = В (х0 <x1 < ...< хn) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х0;х1], [x1; х2],..., [хn-1,хn] (см. рис. 167).

2). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку сi є [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi).

3). Умножим найденное значение функции ƒ (сi) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi.

4). Составим сумму Sn всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1,2,..., n).

5). Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,

Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.

Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.

Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).

1). Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования:

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2). Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3). Для любого действительного числа с.