Пример решения задачи к1

Даны уравнения движения точки в плоскости XY:

X= -2 cos, Y=2 sin

(X, Y- в см, t – в с).

Определить:

• уравнение траектории точки;

• скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории при t=1 с.

Решение:

1. Для определения уравнения траектории точки у=f(x) необходимо исключить из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу:

cos 2α =1-2 sin²α или cos , (1)

Из уравнений движения находим выражения функций:

cos sin

Полученные значения функций подставляем в равенство (1).

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. К1.10):

x=(y+1)²+1

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

v_x=;

при t₁=1 c: v_1x=1,11 см/с, v_1y=0,73 см/с, v₁=1,33 см/с

3. Аналогично найдем ускорение точки

и при t₁=1 c:

,

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V²=V_x²+V_y². Получим:

и

Числовые значения величин V_x, V_y, a_x, a_y, входящих в правую часть выражения, определены выше. Подставив эти значения, найдем, что при t₁=1 c .

5. Нормальное ускорение точки найдем из равенства откуда . Подставляя найденные числовые значения a₁ и a_1τ, получим, что при t₁=1 c, a_1n=0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории определим из выражения или Подставляя числовые значения V₁ и a_1n, найдем, что при t₁=1 c, ρ₁=3,05 cм.

Ответ: V₁=1,33 см/с, a₁=0,88 см/с²,

a_1n=0,58 см/с², ρ1=3,05 cм.

Пример решения задачи

Плоский механизм (рис. К2.11) состоит из стержней 1,2,3 и ползунов В, Е, соединенных друг с другом и с неподвижной опорой шарнирами.

Определить скорости ползунов В, Е, угловую скорость звена ДЕ, ускорение точки В и угловое ускорение звена АВ.

Дано: ₁= 0,4 м, ₂= 1,2 м, ₃=1,4 м.

АД=ДВ

α = 30, β =120, γ =120, φ = 0,

θ=60, ω₁ = 4 ¹/_с, ε₁ = 6 ¹/_с²

Определить: V_B, V_E, ω_ДЕ, а_В, ε_АВ

Рис. К2.11

Решение

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными длинами стержней и углами (рис. К2.12).

2. Определяем типы движения тел. Стержень ОА совершает вращательное движение; стержни АВ и ДЕ – плоско – параллельное, ползуны В и Е – поступательное движение.

3. Определяем скорость точки А, принадлежащей стержню ОА.

Изображаем вектор на схеме механизма.

4. Определяем скорость точки В, принадлежащей стержню АВ. Точка В одновременно принадлежит ползуну В, поэтому направление известно – вдоль направляющих.

Применим теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела. Для рассматриваемого случая

, откуда

5. Определяем . Направление неизвестно, поэтому необходимо воспользоваться мгновенным центром скоростей (МЦС). Строим МЦС стержня 3, который находится в точке С₃ на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей ,

Треугольник С₃АВ – равносторонний, следовательно, С₃А=

Из ∆ С₃АД С₃Д=С₃А cos30˚=ℓ₃ cos30˚=1,4 cos30˚ м

V_Д=1,4 cos30˚*1,14≈1,4 м/с

Так как С₃ДАВ, то направлен по линии АВ в сторону вращения

6. Определяем

Точка Е принадлежит стержню ДЕ и одновременно ползуну Е, поэтому направление известно – вдоль направляющих. Применим теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела

V_E cos60˚ = V_Д cos60˚, откуда

V_E =V_Д=1,4 м/с

7. Определяем

Угловая скорость стержня ДЕ равна угловой скорости радиуса С₂Д относительно мгновенного центра С₂

треугольник ЕС₂Д - равнобедренный

8. Определяем ускорение точки А, принадлежащей стержню ОА

Изобразим векторы на схеме.

9. Определяем ускорение точки В, принадлежащей стержню АВ.

, (2)

Так как точка В одновременно принадлежит ползуну В, двигающемуся прямолинейно, то - направлено вдоль направляющих.

- найдены ранее;

Покажем векторы на схеме (рис. К2.13).

Модуль ускорения а_В определим по формуле:

Проведем оси X,Y, причем ось X направим перпендикулярно неизвестному вектору . Запишем уравнение (2) в проекциях на ось X.

, ()

10. Определим угловое ускорение стержня АВ

Запишем уравнение (2) в проекциях на ось Y

откуда

Ответ: V_B=1,6 м/с, V_Е=1,4 м/с, ω_ДЕ=2 ¹/_С, а_В=0,78м/с², ε_АВ=5,1

Пример решения задачи

Груз массой m, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют сила и сила сопротивления среды . С достигнутой на участке АВ скоростью груз в точке В переходит на движение по участку ВС. На этом участке на груз кроме силы тяжести действует сила F, направленная по линии движения груза ( ось X) и сила трения скольжения. Коэффициент трения f.

Найти закон движения груза на участке ВС (рис. Д1.10).

Дано: m=1,6 кг, V₀=18 м/с, Q=4 Н, R=0,4V Н,

t₁=2 с, f=0,2, F=4cos (4t) Н

Определить: закон движения на участке ВС, т.е. x=f(t)

Решение

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. На груз действует: - сила тяжести, - реакция опоры, силы и .

Покажем действующие силы на схеме

Проведем ось АZ по направлению движения груза и составим дифференциальное уравнение в проекциях на эту ось.

(1)

Решим полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, предварительно выполнив необходимые преобразования.

Для сокращения записи подставим числовые значения:

Разделим переменные и проинтегрируем:

(2)

Определим постоянную интегрирования С₁ по начальным условиям:

t = 0, V_Z0=18 м/с.

Подставим эти значения переменных в уравнение (2):

Уравнение (2) примет вид:

Преобразуем уравнение:

Из равенства логарифмов

Скорость в точке В, для которой t=2с, получим:

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС. На груз действует сила: - сила тяжести, - сила трения, - реакция опоры и заданная сила .

Покажем действующие на тело силы на схеме, при этом учтем, что сила трения направлена противоположно движению тела.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось X:

(3)

Определим силу трения:

Для определения силы N запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось Y .

Так как при движении тела вдоль оси X координата Y не изменяется (т.е. Y=const), то и, следовательно, .

Запишем это равенство в соответствии со схемой сил

N-P=0, откуда N=P=mg; F_тр=fmg.

Уравнение (3) примет вид

Разделим переменные и проинтегрируем:

(4)

Начальные условия для участка ВС: t=0, V_X=V_B=6,95 м/с.

Подставим начальные условия в уравнение (4) 6,95=С₂

Учитывая, что и С₂=6,95, уравнение (4) примет вид:

(5)

Определяем С₃ из начальных условий: t=0, X₀=0

0=-0,156+С₃; С₃=0,156

Окончательно уравнение примет вид

Ответ: Закон движения груза на участке ВС

Пример решения задачи

Механическая система (см. рис. Д2.10) состоит из сплошного катка 1 массой m₁, ступенчатого шкива 2 массой m₂ с радиусами R₂, r₂ и радиусом инерции ₂, груза 3 массой m₃ и блоков 4,5. К блоку 5 присоединена пружина с коэффициентом жесткости С. Система приходит в движении под действием силы , приложенной к катку 1. При этом кроме сил тяжести и упругости пружины действуют сила трения груза 3 (коэффициент трения f) и момент сопротивления вращению шкива 2 – М_С.

Определить скорость центра (С₁) катка при перемещении его на расстояние S_1.

Дано: m₁=1 кг, m₂=3 кг, m₃=4 кг, R₂=0,4 м,

r₂=0,2 м, ρ₂=0,3 м, М_С=1,2 Нм, f=0,1.

S=0,1 м, С=100 Н/м, F=50 (4+5S) Н

Определить: V_C1

Решение:

1. Изобразим схему механической системы и покажем все действующие на нее внешние силы (рис. Д2.10)

Рис. Д2.10

активная сила, - сила трения,

- сила упругости пружины, - реакции,

- силы тяжести тел, М_С – момент сопротивления

2. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

3. Определим кинетическую энергию системы

Покажем на схеме линейные и угловые скорости тел:

T₀=0, т.к. в начальный момент система находилась в покое:

T=T₁+T₂+T₃ ,

где Т₁, Т₂, Т₃ – кинетическая энергия тел 1,2,3 соответственно.

Тело 1 движется плоскопараллельно:

, где

Тело 2 имеет вращательное движение:

, где

Тело 3 движется поступательно:

Выразим скорости тел через искомую V_C1: