1.8. Консервативные и неконсервативные силы.

8.1. Консервативные силы.

В се силы в макроскопической механике принято делить на консервативные и неконсервативные. Рассмотрим в качестве примера силу тяжести:

.

Пусть тело переходит из точки 1, находящейся на высоте , в точку 2 на высоте .

Вычислим сначала работу силы тяжести вдоль прямой 1-2:

Однако эта же формула оказывается справедливой для вычисления работы силы тяжести и при перемещении вдоль произвольной кривой, например по пути 1-3-2. Это легко увидеть, если разбить путь на маленькие участки, считая их прямолинейными. Тогда работа на таких участках равна

,

где теперь переменный угол. Суммируя по всем участкам и учитывая, что (горизонтальные участки траектории не дают вклада, поскольку на них и , кроме того, на остальных участках кривой 1-3-2 имеет противоположные знаки при движении вверх и вниз, соответственно), получаем то же выражение для работы силы тяжести на всем пути:

. (8.1)

Здесь мы ввели функцию .

Из проведенного рассмотрения следует важный вывод: работа силы тяжести не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями перемещающейся точки.

Определение: Консервативными называются силы, работа которых не зависит от пути перемещения, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы.

Т.о., работа консервативных сил не зависит от пути перехода из начальной в конечную точку траектории. Следовательно, сила тяжести - консервативная сила.

Можно ввести другое определение консервативных сил.

Определение: Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю.

Легко увидеть, что это эквивалентное определение, рассмотрев работу по произвольной замкнутой траектории 1-3-2-4-1. В самом деле, для консервативной силы имеем

С другой стороны работа меняет знак при изменении направления обхода, т.е. . Тогда и получаем

.

8.2.Поле центральных сил.

Сила называется центральной, если она направлена к одной и той же точке (или от нее) и зависит только от расстояния до этой точки, которую называют силовым центром:

(8.2)

Формула (8.2) действительна в системе координат, начало которой помещено в силовой центр.

Найдем работу центральных сил в случае, когда силовой центр неподвижен. Элементарная работа в поле центральных сил:

Из рисунка легко видеть, что , где -

элементарное приращение длины , т.е. расстояния от

силового центра 0 до интересующей нас материальной

точки. Т.о.,

, (8.3)

и, поскольку, как предполагается, величина силы

зависит только от расстояния , то элементарная работа

также зависит только от абсолютного значения .

Соответственно, полная работа выражается определенным

интегралом:

,

значение которого зависит только от расстояний и точек и до силового центра , но не зависит от формы пути, по которому материальная точка перешла из начального положения в конечное положение .

Поэтому полная работа , как и в случае однородной силы тяжести, может быть записана также в виде:

. (8.4)

В общем случае могут перемещаться как материальная точка , так и силовой центр , причем силы и их взаимодействия подчиняется третьему закону Ньютона: и направлены вдоль прямой , соединяющей частицы (см. рисунок).

Обозначим посредством и радиус-векторы точек и , проведенные из неподвижного начала .

Тогда элементарную работу можно записать как

.

Здесь есть радиус-вектор точки относительно точки .

Следовательно, как при вычислении элементарной, так и полной работы силовой центр может считаться неподвижным, а точка – перемещающейся относительно него. Поскольку сила направлена по вектору , то работа, по-прежнему определяется выражениями

и .

Сюда входят только расстояние между взаимодействующими точками и его приращение.

Выводы: работа центральных сил не зависит от пути перехода. Все центральные силы консервативны. Пример. К центральным относятся силы гравитационного и кулоновского

взаимодействий.

3. Неконсервативные силы.

К неконсервативным силам относятся все остальные силы, кроме рассмотренных выше консервативных. Среди неконсервативных сил выделяют диссипативные и гироскопические.

1. Диссипативные силы.

Определение: диссипативными называются такие силы, полная работа которых при любых движениях

в замкнутой системе всегда отрицательна.

Силы трения () и сопротивления (для жидкостей и газов ). Важно, что для замкнутой системы работа диссипативных сил всегда отрицательна, поскольку направление силы всегда противоположно направлению перемещения или скорости.

Примечание: для незамкнутой системы сила трения может быть источником движения.

2) Гироскопические силы.

Гироскопические силы зависят от скорости движения материальной точки и действуют перпендикулярно этой скорости. Работа этих сил всегда равна нулю. Например, гироскопическими силами являются сила Лоренца (магнитная)

в системе СИ: ,

в системе СГС: ,

и сила Кориолиса

.