Подсказка
Сравните неравенства, задающие условие положительности дискриминанта данных квадратных трехчленов.
Решение
Запишем дискриминант первого уравнения: D=b2-4ac. Из условия следует, что D>0. Отсюда b2>4ac. Возведем это неравенство в 101-ую степень, получим: (b101)2>4101a101c101. Если ac неотрицательно, то из этого неравенства следует, что (b101)2>4a101c101, т.е. дискриминант трехчлена a101x2+b101x+c101 положителен. Если же ac<0, то это ясно и так. Таким образом, в любом случае уравнение a101x2+b101x+c101 имеет два действительных корня.
Ответ
верно.
10. При каких a уравнения x2 + ax + 1 = 0 и x2 + x + a = 0 имеют хотя бы один общий корень?
Подсказка
Рассмотрите разность данных многочленов.
Ответ
a = 2.
11. Укажите все точки плоскости (x;y), через которые не проходит ни одна из кривых семейства
y = p2 + (4 - 2p)x - x2.
Подсказка
Все точки, удовлетворяющие условию задачи лежат под параболой y = 4x - 2x2. Ответ:
y < 4x - 2x2.
12. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых уравнение 4x2 - 2x + a = 0 имеет два корня, причем x1 < 1, x2 > 1.
13. Найдите все такие q, что при любом p уравнение x2 + px + q = 0 имеет два действительных корня.
14. При каких значениях параметра a один из корней уравнения
(a2 + a + 1)x2 + (2a - 3)x + (a - 5) = 0
больше 1, а другой — меньше 1?
Решение
Условие задачи равносильно
тому, что указанная функция в точке x
= 1 принимает отрицательное значение.
Отсюда a
(-
2 -
;
- 2 +
).
15. Известно, что модули корней уравнений x2 + ax + b = 0 и x2 + cx + d = 0 меньше 1. Докажите, что модули корней уравнения
x2
+
x
+
=
0
также меньше 1.
16.
Даны уравнения ax2
+ bx
+ c
= 0 (1) и - ax2
+ bx
+ c
(2). Доказать, что если x1
и x2
— соответственно какие-либо корни
уравнений (1) и (2), то найдётся такой
корень x3
уравнения
x2
+ bx
+ c
= 0, что либо x1
x3
x2,
либо x1
x3
x2.
Решение
При x
= x1
и при x
= x2
трёхчлен
x2
+ bx
+ c
принимает значения - ax12/2
и 3ax22/2.
Эти значения имеют разные знаки, поэтому
один из корней трёхчлена расположен
между x1
и x2.
17. Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9. Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Решение
Так как корни приведённого квадратного трёхчлена x2 + px + q равны x1 = (-p+√D)/2 и x2 = (-p-√D)/2, то x1-x2 = √D. Обозначим корни данных трёхчленов x1, x2, y1, y2, z1, z2, так что x1-x2 = 1, y1-y2 = 2 и z1-z2 = 3. Тогда x1 + y1 + z2 = x2 + y2 + z1.
18. Автор: Фольклор
Коэффициенты квадратного уравнения x2+px+q=0 изменили не больше, чем на 0,001. Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?
Решение
Напишем формулу для большего корня исходного уравнения x2 + px + q = 0:
и изменённого уравнения x2 + (p + a)x + (q + b) = 0:
(a и b положим равными 0,001). По формуле сокращённого умножения, (p + a)2 = p2 + 2pa + a2. Подберём p таким, чтобы 2pa > 10 000 000. После этого подберём q таким, чтобы p2 = 4q. Тогда
Ответ
Может.
19. Один из двух приведенных квадратных трехчленов имеет два корня меньших тысячи, другой — два корня больших тысячи. Может ли сумма этих трехчленов иметь один корень меньший тысячи, а другой — больший тысячи?