Тема 2.3. Дерева і цикли у графах

2.3.1. Компоненти зв’язності

Нагадаємо, що граф називають зв’язним, якщо у ньому існує шлях між кожною парою вершин.

Позначимо множину, що складається з даної вершини і всіх тих вершин графа, що можуть бути з’єднані з нею ланцюгом.

Означення 2.3.1. Компонента зв’язності чи просто компонента – це підграф, породжений множиною типу або вершинно породжений підграф .

Розглянемо незв’язний неорієнтований граф .

Множину його вершин можна розбити на такі підмножини:

; ; , так, що вершинно породжені підграфи , , були зв’язними, і жодна вершина з підмножини не була суміжною з жодною вершиною підмножини , .

Очевидно, виконуються такі властивості для підмножин , які утоворюють розбитття множини :

1. ;

2. ;

3. .

Підграфи , , – компоненти зв’язності графа . Кожен з них – максимально зв’язний підграф графа , тобто не є власним підграфом будь-якого іншого підграфа .

Отже, наведений на прикладі граф має три компоненти зв’язності.

Теорема 2.3.1. Граф буде зв’язним лише у тому випадку, якщо він складається з однієї компоненти зв’язності.

2.3.2. Ранг та цикломатичне число графа

Розглянемо граф на вершинах і ребрах, який має компонент зв’язності.

Означення 2.3.2. Рангом графа називають число, яке дорівнює різниці між кількістю його вершин і компонент зв’язності:

.

Означення 2.3.3. Цикломатичним числом графа називають число, яке дорівнює різниці між кількістю його ребер і вершин плюс кількість компонент компонент зв’язності:

.

Зауважимо, що існує зв’язок між рангом і цикломатичним числом графа:

.

Ранг і цикломатичне число – найважливіші характеристики графа.

Теорема 2.3.2. Нехай граф, одержаний з графа додаванням нового ребра між вершинами та . Тоді:

1. якщо чи вони можуть бути з’єднані ланцюгом в , то

та ;

2. якщо чи вони не можуть бутиз’єднані ланцюгом в , то

та .

Доведення.

Якщо виконується умова 1), то додавання нового ребра кількості компонент зв’язності графа не змінює. Очевидно, що .

Тому

,

.

Випадок 1) доведено.

Якщо ж виконується умова 2), то додане ребро – перешийок між компонентами зв’язності графа , тому воно зменшує їх кількіть на 1.

У цьому випадку .

Тоді

,

.

Випадок 2) доведено. Теорему доведено.

Наслідок. .

Доведення.

Якщо граф – вироджений, тобто має лише вершини, а ребра – відсутні, то і . За теоремою 2.3.2 додавання нового ребра збільшує або , або . Отже, числа та можуть лише зростати.

Наслідок доведено.

Підсумовуючи вище сказане, бачимо, що цикломатичне число графа вказує на кількість у ньому циклів.

2.3.3. Дерева і ліси

Серед зв’язних графів найпростішу структуру мають дерева.

Означення 2.3.4. Деревом називають скінчений зв’язний граф без циклів, який має щонайменше дві вершини.

Граф є деревом тоді і тільки тоді, коли кожна пара різних його вершин з’єднана одним і тільки одним ланцюгом.

Видалення довільного ребра з дерева робить його незв’язним, оскільки це ребро є складовою єдиного ланцюга, що з’єднує будь-які дві точки.

Теорема 2.3.3. Для графа G, який має n (n>1) вершин і m ребер, наступні твердження є еквівалентними:

1. G є деревом;

2. є лише один ланцюг між будь-якими двома вершинами в G;

3. G є зв’язним і m=n-1;

4. G не має циклів і m=n-1;

5. G не має циклів і при з’єднанні ребром довільних двох несуміжних вершин отримуємо граф, який має лише один цикл;

6. G є зв’язним проте втрачає цю властивість, якщо вилучити одне ребро.

Означення 2.3.5. Деревом графа G називають зв’язний підграф графа G, що не має циклів.

Означення 2.3.6. Остовом або покриттям графа G називають дерево графа G, що містить всі вершини графа G.

Означення 2.3.7. Кодерево Т* остова Т графа G – це підграф графа G, що містить всі вершини графа G і лише ті ребра, які не входять в Т.

Орієнтований граф G називається орієнтованим деревом (або прадеревом), що росте з кореня х₀, якщо:

1. він є деревом без врахування орієнтації;

2. з х₀ є орієнтований шлях до всіх інших вершин графа G.

Наприклад,

Ребра остова графа G називають гілками дерева Т, а ребра відповідно кодерева – хордами або зв’язками.

Додання однієї хорди до остова графа вказує на незалежний цикл.

Теорема 2.3.4. Граф G є зв’язним тоді і тільки тоді, коли він має остов.

Означення 2.3.8. Лісом з k дерев називають граф, що не має циклів і складається з k компонент.

Теорема 2.3.5. Кожне дерево з n вершинами має n-1 ребро.

Теорема 2.3.6. Ліс з дерев, який містить n вершин, має n-k ребер.