5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. а) . Найти: , убедиться, что .

б) . Найти .

2. а). . Найти: , убедиться, что .

б) . Найти .

3. а) . Найти .

б) ; . Найти , .

4. а) . Найти .

б) ; , . Найти .

5. а) . Найти .

б) ; . Найти , .

6. а) . Найти .

б) ; . Найти , .

7. а) . Найти .

б) ; , . Найти .

8. а) . Найти .

б) ; . Найти , .

9. а) . Найти .

б) ; . Найти , .

10. а) . Найти

.

б) ; . Найти , .

В задачах 11-20 дана функция z=f(x;y) Показать, что

11. .

12. .

13. .

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

В задачах 21–30 дана функция и две точки А() и В(). Требуется: 1) вычислить значение функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке С():

21. ; А(1; 2), В(1,02; 1,96).

22. ; А(1; 3), В(1,06; 2,92).

23. ; А(4; 1), В(3,96; 1,03).

24. ; А(2; 3), В(2,02; 2,97).

25. ; А(2; 1), В(1,96; 1,04).

26. ; А(2; 4), В(1,98; 3,91).

27. ; А(-1; 3), В(-0,98; 2,97).

28. ; А(3; 3), В(3,02; 2,98).

29. ; А(3; 4), В(3,04; 3,95).

30. ; А(1; 2), В(0,97; 2,03).

6. Неопределенные и определенные интегралы

1) В задачах 1-30 найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) .

11.а); б) ;

в) ; г) .

12.а) б) ;

в) г) .

13.а) ; б) ;

в)dx; г)

14.а) б) ;

в)dx; г)

15. а) б) ;

в); г)

16. а) б) ;

в); г)

17. а) б);

в) г)

18. а) б)

в) г).

19. а) б) ;

в) г)

20. а) б)

в) г)

21.а) б) ;

в) г)

22. а) б) ;

в); г).

23. а) б) ;

в) ; г)

24. а) б);

в) ; г)

25. а) б);

в); г)

26. а); б)

в); г)

27. а) б)

в) ; г)

28. а) б)

в) ; г)

29. а); б)

в) ; г)

30. а) б)

в) г) .

2) В задачах 1-30 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими уравнениями:

1.

2. .

3. .

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

_21.

_22.

_23.

_24.

25.

26. -

27.

28.

29.

30.