Примеры

• ,

• ,

^[1] .

Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Содержание 1 Строгое определение 2 Замечание 3 Касательная как предельное положение секущей 4 Касательная к окружности 4.1 Свойства 5 Вариации и обобщения 5.1 Односторонние полукасательные

Строгое определение

• Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в ней: . Касательной прямой к графику функции f в точке x₀ называется график линейной функции, задаваемой уравнением

.

• Если функция f имеет в точке x₀ бесконечную производную то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

x = x₀.

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x₀,f(x₀)). Угол α между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс, а  — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки (x₀,f(x₀)) и (x₁,f(x₁)) задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку (x₀,f(x₀)) для любого и её угол наклона α(x₁) удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции f в точке x₀, переходя к пределу при получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку (x₀,f(x₀)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:

y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).

Касательная к окружности

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x₀ называется луч

• Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x₀ называется луч

• Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции f в точке x₀ называется луч

• Если существует бесконечная левая производная то правой полукасательной к графику функции f в точке x₀ называется луч

52