8.3.2. Розкладання вектора прискорення точки за осями натурального тригранника (нормальна і дотична складові прискорення)

Вектор швидкості може бути представленим у вигляді

,

де - одиничний вектор дотичної, направлений в сторону додатного відліку дуги; - проекція швидкості на напрям .

На основі виразу (8.32) маємо:

^(8.44)

Подамо похідну у вигляді:

^(8.45)

Підставивши (8.45) в (8.44), одержимо:

^(8.46)

оскільки

Визначимо величину і напрямок вектора . Вектор перпендикулярний вектору . Оскільки похідна вектора постійної довжини перпендикулярна вектору. Отже, вектор направлений по якійсь нормалі.

Нехай в момент часу t точка перебуває в положенні М на траєкторії, а в момент - в положенні М₁ , переносячи вектор в точку М . знайдемо зміну вектора за проміжок часу

Вектор при русі точки в напрямку додатного відліку дуги направлений в бік ввігнутості траєкторії (рис. 8.19,а), а при русі точки в бік від'ємного відліку дуги - направлений в бік випуклості траєкторії (рис. 8.19,6).

Рис. 8.19, а

Рис. 8.19, б

Вектор буде завжди направлений в бік ввігнутості траєкторії (рис. 1.19, а і б), тому що при вектор направлений протилежно вектору, привін направлений в той самий бік, що і вектор. Вектор лежить в площині, що проходить через точку М і вектори і (площина МАВ ).

Отже, вектор лежить в стичній площині, оскільки при площина МАВ збігається з стичною площиною в точці М .

Таким чином, вектор лежить в стичній площині, направлений в бік ввігнутості траєкторії, перпендикулярний до , отже, він направлений по головній нормалі до центра кривини.

Знайдемо тепер величину . Трикутник АМВ рівнобічний (рис. 8.19,а), отже,

або користуючись рівняннями (8.43) і (1.44). одержимо:

Враховуючи, що одиничний вектор головної нормалі, бу­демо мати:

і, отже

^(8.47)

З цієї формули випливає, що вектор прискорення лежить в стичній площині.

Складові прискорення за напрямами і відповідно будуть:

Проекція прискорення на напрямок

^(8.48)

називається дотичним прискоренням.

Проекція прискорення на головну нормаль

^(8.49)

називається нормальним прискоренням.

Нормальне прискорення . Проекція прискорення на бінормаль дорівнює нулю.

Дотичне прискорення характеризує зміну швидкості за вели­чиною, а нормальне прискорення - зміну швидкості за напрямком.

Модуль вектора прискорення.

^(8.50)

Дотичне прискорення дорівнює нулю при русі точки з постійною за модулем швидкістю і в момент часу, в якій швид­кістьдосягає екстремальних значень.

Якщо і одного знака, то модуль швидкості точки зростає і рух в цьому випадку називається прискореним (рис. 8.20а).

Якщо ж і різних знаків, то модуль швидкості спадає і рух буде сповільненим (рис. 8.20 б).

а) Рис 8.20 б)

При модуль швидкості залишається постійним і рух буде рівномірним.

Нормальне прискорення дорівнює нулю при прямолінійному русі (J, а також в точках перегину криволінійної траєкторії і в моменти часу, при якому швидкість точки дорівнює нулю.

Радіус кривини траєкторії можна визначити за формулою:

^(8.51)

Зазначимо, що для обчислення дотичного прискорення можна використати рівність , оскільки

Якщо рух точки задано координатним способом, у випадку опису руху в декартових координатах то будемо мати:

Для полярних координат одержимо: