1. Кинематика точки

1.1 Способы задания движения точки.

1.1.1 Векторный способ задания движения точки.

Определение скорости и ускорения точки.

Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиуса-вектора , проведённого из некоторого неподвижного центра О в данную точку М (рисунок 1.1).

При движении точки М вектор будет изменяться с течением времени и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором, зависящим от времени, т.е.

= (t) (1.1)

М₂

М₁ М₃

М₀

0

Рисунок 1.1

Равенство (1.1) и является законом движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки, т. е. линию, которую описывает точка при движении.

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки - эта величина характеризует быстроту изменения вектора перемещения точки.

Определение скорости точки

Пусть движущаяся точка в момент времени t находится в положении М, а в момент времени t₁ приходит в положение М₁ (рисунок 1.2)

z

м₁

м

r

o y

х

Рисунок 1.2

Тогда перемещение точки за промежуток времени t = t₁ – t определяется вектором ММ_1, который называется вектором перемещения точки, т. е. вектор перемещения – это вектор, проведённый из начального положения точки в конечное.

= – = (1.2)

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени равно векторной величине средней по модулю и направлению, называемой средней скоростью точки за промежуток времени t.

, (1.3)

Направлен вектор также как вектор , т.е. вдоль хорды ММ₁ в сторону движения точки.

Очевидно, чем меньше промежуток времени t, тем точнее будет вычисление величины.

Чтобы получить точную характеристику движения вводят понятие скорости точки в данный момент времени, которую называют мгновенной скоростью

(1.4)

Размерность скорости м/с.

Таким образом, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса – вектора точки по времени.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону её движения.

При прямолинейном движении вектор скорости всегда направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться только по величине; при криволинейном движении вектор скорости изменяется и по величине, и по направлению.