9. Свойства определителей.

Определение. Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства определителей.

1. При транспонировании матрицы определитель не меняется.

2. При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

3. При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.

4. Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то

.

5. Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

7. Определитель равен нулю, если

• все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю,

• две строки (столбца) одинаковы,

• две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Методы вычисления определителей.

1. Разложение по строке или столбцу.

2. Метод обращения в нуль всех (кроме одного) элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).

3. Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали.

4. Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель - го порядка равен сумме произведений всех его миноров - го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Примеры.

1. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать по второй строке:

Таким образом, окончательно получим .

10. Система линейных алгебраических уравнений. Основная и расширенная матрица. Совместная, несовместная и однородная системы уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений, содержащая уравнений и неизвестных имеет следующий вид:

(1)

Обозначим матрицу-столбец из неизвестных через X и матрицу-столбец из свободных членов через B.

– столбец неизвестных, – столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно записать в виде: , (2)

где – основная матрица системы.

Уравнение (2) называется матричным уравнением. Перепишем уравнение (2) следующим образом .

Тогда получим решение матричного уравнения в виде: (3)

Матрицу называют расширенной матрицей системы.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется прямоугольной, если , и квадратной, если .

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если , т.е., если столбец свободных членов состоит из одних нулей.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется неоднородной, если .

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если любое решение одной из них является решением и другой системы. Заметим, что все несовместные системы являются эквивалентными.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений:

1. перестановка любых двух уравнений;

2. умножение обеих частей одного уравнения на любое число отличное от нуля;

3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему в эквивалентную.

22