Глава іі. Зміст практикуму “Оптичні прилади та вимірювання в геодезії”

Головною частиною оптичних приладів, які використовуються в геодезичних вимірюваннях є оптичні системи. Такі системи складаються з оптичних деталей – дзеркал, плоско-паралельних пластин, призм, лінз тощо.

Для пояснення законів розповсюдження світла у цих оптичних деталях використовують закони геометричної оптики.

В основу геометричної оптики покладені уявлення про світловий промінь, що поширюється прямолінійно в однорідному середовищі.

Розділ 1.1. Геометрична оптика та оптичні системи

Основні формули

Закон відбиття:

,

де - кут падіння; - кут відбиття.

Закон заломлення:

,

де - кут заломлення; та - абсолютні показники заломлення першого та другого середовищ відповідно.

Кут відхилення променів у призмі з малим кутом заломлення:

,

де - кут відхилення променя при проходженні призми; - кут заломлення призми.

Рівняння заломлюючої сферичної поверхні:

,

де S - відстань від вершини сферичної поверхні до предмета А; S^/ - відстань від вершини сферичної поверхні до зображення, r – радіус кривизни, Ф – оптична сила заломлюючої поверхні.

Лінійне (поперечне) збільшення сферичної поверхні:

,

де S - відстань від вершини сферичної поверхні до предмета ; S^/ - відстань від вершини сферичної поверхні до зображення.

Формула сферичного дзеркала:

,

де - відстань від об’єкта до дзеркала; - відстань від зображення до дзеркала; - радіус кривизни сферичного дзеркала (для опуклого R<0, для вгнутого R<0; - головна фокусна відстань дзеркала.

Формула тонкої збиральної лінзи:

,

де - відносний показник заломлення; S - відстань від предмета до лінзи; S^/ - відстань від зображення до лінзи; - радіуси кривизни поверхонь лінзи; - головна фокусна відстань лінзи; - оптична сила лінзи.

Лінійне поперечне збільшення для тонкої лінзи:

,

де та - лінійні розміри відповідно предмета та зображення.

Оптична сила системи, яка складається з двох лінз:

,

де та - оптична сила відповідно першої та другої лінзи; - відстань між головними площинами двох лінз.

Якщо =0, то .

Збільшення лупи:

,

де - відстань найкращого бачення (=25см).

Збільшення мікроскопа:

,

де - відстань між фокусами об’єктива та окуляра; та - оптична сила об’єктива та окуляра.

Збільшення телескопічної системи:

,

де та - головні фокусні відстані об’єктива та окуляра.

Сферична аберація:

1. Приклади розв’язання задач

Задача 1.1.1. Показати, що при сталому куті падіння променя світла на призму, відносний показник заломлення якої , відхилення променя призмою зростає при збільшенні кута заломлення призми.

Розв’язання задачі. На рис.1.1.1 показано хід довільного променя світла, що заломлюється призмою, абсолютний показник заломлення якої більший, ніж абсолютний показник заломлення речовини , що оточує призму (тоді відносний показних заломлення призми ).

Розв’язання задачі, очевидно, полягає в тому, щоб знайти вираз кута відхилення (рис. 1.1.1):

,

де - кут заломлення призми; - кут падіння променя на призму.

Згідно з умовою задачі, . З рис.1.1.1 видно, що:

, а ,

тобто

.

Але як зовнішній кут ВЕD.

Крім того, з ВDС знаходимо, що .

А з чотирикутника СВАD:

,

бо, згідно з побудовою, , так що .

В результаті маємо:

.

Проте, згідно з законом заломлення світла:

.

Звідси:

, та

Остаточно знаходимо:

З останньої формули випливає, що при кут зростає, якщо кут заломлення призми збільшується. Досліджуючи знайдений вираз на екстремум, легко визначити мінімальний кут відхилення .

Проте зрозуміло, що не може збільшуватись як завгодно довго при збільшенні , тому що зростає , і при спостерігається явище повного внутрішнього відбивання на другій грані призми. Граничний кут заломлення призми, при якому промінь вже не може вийти з неї внаслідок повного внутрішнього відбивання, дорівнює (при ):

.

Задача 1.1.2. Радіус кривизни вгнутого сферичного дзеркала =40 см. Знайти положення об’єкта, при якому: а) зображення дійсне і збільшене в два рази; б) уявне і збільшене в два рази.

Розв’язання задачі. Згідно з формулою збільшення сферичного дзеркала (для ):

,

де - відстань від об’єкта до дзеркала; - відстань від його зображення до дзеркала (виміряні вздовж оптичної осі).

Оскільки дійсне зображення, що його дає вгнуте дзеркало, завжди обернене, то при:

а) , тобто або . Той факт, що і мають однакові знаки, якраз і означає, що об’єкт і його дійсне зображення лежать по один бік від вершини дзеркала.

Тоді на підставі рівняння для вгнутого дзеркала:

,

можна записати:

.

Звідки шукана відстань:

см.

У випадку б) , бо уявне зображення, що його дає вгнуте дзеркало, завжди пряме. Отже:

, тобто .

Тоді:

, або .

Звідки:

см.

Задача 1.1.3. Предмет міститься на певній відстані від тонкої лінзи, яка дає його зображення в повітрі, збільшене у разів. Не змінюючи відстані між предметом і лінзою, їх занурюють у воду. Як зміниться збільшення? Показник заломлення лінзи , показник заломлення води .

Розв’язання задачі. Користуючись формулою тонкої лінзи, яка міститься в однорідній речовині для повітря можна записати:

,

а для води:

,

де та - радіуси кривизни сферичних поверхонь лінзи.

Поділивши перший вираз на другий, матимемо:

,

де - друга фокусна відстань лінзи у воді, - фокусна відстань лінзи у повітрі.

Останній вираз легко звести до вигляду:

,

де - збільшення, яке дає лінза в повітрі, - збільшення, яке дає лінза у воді.

Отже, шукане збільшення:

.

Цікавим є аналіз цієї формули. Розглянемо, наприклад, випадок, коли збірна лінза дає в повітрі дійсне, але не збільшене зображення, тобто . Тоді збільшення у воді буде

.

Це означає, що у воді зображення буде пряме, отже, для збірної лінзи уявне. Такий результат не дивовижний, бо у воді фокусна відстань лінзи , тобто значно більша, ніж у повітрі, тому предмет, який у повітрі знаходився на подвійній фокусній відстані від лінзи, у воді знаходитиметься всього тільки на половині фокусної відстані. В останньому випадку, як відомо, збірна лінза дає уявне зображення предмета.

Тепер розглянемо випадок, коли в повітрі , тобто спостерігається зменшене, дійсне і обернене зображення предмета. В цьому разі у воді збільшення дорівнює:

,

тобто зображення предмета у воді дійсне, обернене, а його величина дорівнює величині предмета.

Аналогічно можна проаналізувати також інші випадки, в тому числі і для розсіювальної (від’ємної) в повітрі лінзи.

Задача 1.1.4. Фокусна відстань об’єктива мікроскопа дорівнює =1 см, окуляра =3 см, відстань між ними =20 см. На якій відстані від об’єктива треба помістити предмет, щоб його зображення було віддалене від ока спостерігача на =20 см (відтань найкращого бачення)? Яке при цьому буде лінійне збільшення об’єкта?

Розв’язання задачі. Розглядатимемо мікроскоп як оптичну систему з двох тонких лінз на скінченій відстані одна від одної (рис. 1.1.2). Тоді оптична сила мікроскопа буде:

;

де - оптична сила об’єктива Л₁;

- оптична сила окуляра Л₂.

Отже:

.

Координата першої головної площини системи дорівнює:

,

тобто перша головна площина міститься на відстані 1,25 см ліворуч від об’єктива (напрям поширення світла на рис.1.1.2 обрано, як завжди, зліва направо).

Напрям стрілок на рис.1.1.2 визначає напрям відліку відрізків від відповідних головних площин і лінз.

Координата другої головної площини дорівнює:

,

тобто перша головна площина міститься на відстані 3,75 см праворуч від окуляра Л₂.

Оскільки загальна оптична сила , то мікроскоп є від’ємною розсіювальною оптичною системою. Це означає, що перша головна фокусна відстань , а друга головна фокусна відстань , тобто

та .

Перший головний фокус лежить праворуч від першої головної площини на відстані 3/16 см, а другий головний фокус - ліворуч від другої головної площини на такій самій відстані.

З умови задачі зрозуміло, що зображення повинно міститись у площині об’єктива Л₁, тобто відстань від другої головної площини до зображення дорівнює . Це може бути тільки тоді, коли

;

.

Отже, предмет повинен міститись на відстані 0,19 см праворуч від першої головної площини або на відстані см від об’єктива.

Лінійне збільшення мікроскопа дорівнює:

,

тобто зображення буде збільшене і обернене.