6.2. Системы линейных уравнений. Основные понятия

Системой m линейных уравнений с n неизвестными (или линейной системой) в линейной алгебре называют систему m линейных уравнений канонического вида с n неизвестными вида:

(6.6)

В (6.6) x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, a₁₁, a₁₂, …, a_mn — постоянные линейные коэффициенты системы (задающие матрицу системы), b₁, b₂, … b_m — свободные члены (задающие вектор свободных коэффициентов). Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент.

Систему (6.6) называются однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (6.6) называется квадратной, если число m ее уравнений равно числу n неизвестных. Число n = m называют порядком системы.

Решение системы (6.6) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (6.6) обращает все её уравнения в тождества. Найти решение системы означает выяснить, существуют ли у системы решения, и если они существуют, найти их.

Система (6.6) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Совместная система вида (6.6) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (6.6) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (6.6) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

В технических приложениях, как правило, рассматриваются системы с квадратными матрицами (m = n). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только этот случай.

Множество коэффициентов (a_ij) квадратной системы образуют ее матрицу А, а множество коэффициентов (b_i) – вектор В свободных коэффициентов системы. Обозначив вектор (x₁, x₂, …, x_n) неизвестных черезХ, в векторном виде систему представляют в виде:

AХ =В. (6.7)

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие системы линейных уравнений называют однородными, а какие – неоднородными ?

2. Какие системы линейных уравнений называют квадратными ?

3. Что называют решением системы линейных уравнений ?

4. Какие системы линейных уравнений называют определённой, неопределённой и переопределёнными ?

5. Как системы линейных уравнений представляют в векторной форме ?

6.3. Необходимое и достаточное условие существования решения системы линейных уравнений. Методы решения

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей (6.7). Теоретически необходимым и достаточным условием существования единственного решения данной системы является условие:

det(A)0. (6.8)

Если det(A)=0, то матрица А называется вырожденной, а система линейных уравнений либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество. При выполнении практических расчетов на ЭВМ из-за округления результатов вычислений точное равенство определителя, как правило, не выполняется. Поэтому вместо условия (6.8) необходимо использовать условие вида:

det(A)  , (6.9)

в котором  > 0 - малое число, учитывающее возможные погрешности вычислений.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на две большие группы – прямые (точные) и итерационные.

Прямые методы используют либо определенные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных либо алгоритмы, в которых точно определены все действия. Если решение системы существует, то его можно найти после выполнения заранее известного количества арифметических и логических операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т.е. пригодны для решения широкого класса систем линейных уравнений.

В то же время, прямые методы имеют и ряд недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной памяти сразу всей матрицы, и при больших значениях n расходуется много места в памяти компьютера. Кроме этого наиболее существенным недостатком прямых методов является накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют только результаты предыдущих операций. Второе название прямых методов - точные выражает тот факт, что теоретическое решение выражается в виде точных формул через коэффициенты системы. Однако идеальное точное решение может быть получено лишь при точных коэффициентах системы и точном выполнении всех вычислений. Практическое задание вещественных чисел и вычисления с ними всегда приводят к появлению погрешностей. Поэтому ошибки в окончательном ответе неизбежны.

Итерационные методы позволяют определить искомое решение системы путем выполнения циклических последовательных приближений. Для начала вычислений необходимо задать некоторое исходное приближенное решение, которое называют начальным приближением, после чего с помощью заданного алгоритма проводятся циклические вычисления, называемые итерациями. В результате каждой итерации находят новое приближение. Итерации проводят до тех пор, пока не будет получено решение с заданной точностью.

Преимуществом итерационных методов является то, что погрешности промежуточных результатов не накапливаются, поскольку расчеты производятся по точным формулам, в которые каждый раз подставляется очередное уточненное значение решения.

Вопросы для проверки знаний.

1. Как формулируется теоретический вариант необходимого и достаточного условия существования единственного решения линейной системы ?

2. Как формулируется практическое необходимое и достаточное условие существования единственного решения линейной системы ?

3. На какие два группы делятся методы решения линейных систем ?

4. В чем заключаются преимущества и недостатки прямых методов решения линейных систем ?

5. В чем заключаются преимущества и недостатки итерационных методов решения линейных систем ?