3. Конечно-элементная постановка задачи
В качестве расчетной конечно-элементной модели в данной задаче выступает бесконечная пластина толщиной 2a = 0.05 м. Из условия симметрии всех приложенных нагрузок (на гранях пластины постоянная, равная нулю, температура; в качестве начального условия – четная функция, зависящая только от x) можно несколько упростить задачу и рассматривать лишь четверть пластины:
Тогда
задача сведется к рассмотрению
полубесконечной пластины толщины a,
у которой на грани x = a
поддерживается нулевая температура. В
начальный момент времени распределение
температуры в слое имеет вид:
,
а на остальных гранях ставятся естественные
граничные условия:
.
Для того чтобы задачу можно было промоделировать в ANSYS, необходимо сделать допущение о конечности размеров пластины. Так как все условия, накладываемые на слой, не зависят от y (кроме естественного на нижней грани), исходную область можно свести к прямоугольной заданных размеров. При этом значение ее высоты (определяемое параметром y) не будет влиять на искомые результаты.
Т.к. моделируемая область – прямоугольник, то элементом сетки естественно выбрать квадрат постоянного размера, определив заранее высоту фигуры для оптимальной квадрируемости. По условию, необходимо найти зависимость температуры от времени на линиях x = 0 и x = a/2. Вдоль абсциссы x необходимо расположить четное (2n) количество квадратов, тогда интересующие нас точки совпадут с узлами сетки, образованными вершинами этих квадратов. Для ускорения расчетов, высоту исходного прямоугольника выгодно сделать как можно меньше. Если она будет равна a/2 = 0.0125 м., то сетка будет описана 2n*n квадратами. Примем число n равным 10. Тогда количество элементов сетки будет 20*10 = 200, а узлов: 21*11 = 231. В качестве элемента модели выберем четырехузловой квадрат (PLANE55 - ANSYS) с линейной аппроксимацией температуры на гранях. Количество степеней свободы в данной задаче совпадает с количеством узлов, т.е. равно 231, т.к. в каждом узле сетки лишь одна степень свободы – температура.
Построенная средствами ANSYS, конечно-элементная сетка выглядит следующим образом:
4. Конечно-элементное решение задачи
Полученное поле распределения температуры в прямоугольной области в начальный (t = 0 с.) и конечный (t = ts = 150 с. при количестве Nt = 900 разбиений) моменты времени соответственно:
Из полученных распределений видно значительное охлаждение пластины в целом с течением времени (максимальная температура упала с T0 = 100°C до Ts = 0.11°C). Также заметно смещение температурного фронта влево за счет расширения области с низкой температурой.
Построим графики распределения температуры на линиях xp = 0 и xp = a/2 соответственно:
При заданных значениях параметров, температура в узлах на линиях xp = 0 и xp = a/2 с течением времени изменяется соответственно:
|
t, с |
T, °C (xp = 0) |
T, °C (xp = a/2) |
|
0 |
100.0000 |
75.0000 |
|
10.0000 |
65.2025 |
46.2054 |
|
20.0000 |
41.2818 |
29.1925 |
|
30.0000 |
26.1101 |
18.4626 |
|
40.0000 |
16.5137 |
11.6770 |
|
50.0000 |
10.4443 |
7.38526 |
|
60.0000 |
6.60566 |
4.67091 |
|
70.0000 |
4.17785 |
2.95418 |
|
80.0000 |
2.64234 |
1.86842 |
|
90.0000 |
1.67119 |
1.18171 |
|
100.0000 |
1.05697 |
0.747387 |
|
110.0000 |
0.668493 |
0.472696 |
|
120.0000 |
0.422798 |
0.298963 |
|
130.0000 |
0.267405 |
0.189084 |
|
140.0000 |
0.169124 |
0.119589 |
|
150.0000 |
0.106965 |
0.756355E-01 |