Розділ: «Інтеграл» Лекція

Тема: Використання визначеного інтеграла для обчислення площ і об'ємів фігур

Ціль: Одержати навички при рішенні завдань по даній темі

Обчислення площ плоских фігур. Відповідно до геометричного змісту певного інтеграла площа S криволінійної трапеції під графіком безперервної ненегативної функції , заданої на відрізку , чисельно дорівнює певному інтегралу (мал. 1).

За допомогою інтеграла можна знаходити площі плоских фігур більше складного виду, чим криволінійна трапеція. Наприклад, площа фігури, обмеженої прямими й , графіками ненегативних функцій і (мал. 2) обчислюється в такий спосіб

.

у В А О а b x	у В1 А1 А2 В2 О а b x	у О а b x	у О а b x
Рис. 1	Рис. 2		Рис. 3

Умова незаперечності функцій і можна зняти. Нехай т – найменше значення функції на відрізку . Тоді функції й безперервні й ненегативні на відрізку й можна застосувати останню формулу

Графічна ілюстрація даного прийому наведена на мал. 3.

Обчислення обсягу тіла обертання. Нехай функція безперервна й ненегативна на відрізку . Тоді тіло, що утвориться при обертанні навколо осі Ох криволінійної трапеції (мал. 4), має обсяг

.

у О а b x Рис. 4

Ця формула виходить як межа інтегральної суми, побудованої тим же прийомом, що використовувався при знаходженні площі криволінійної трапеції: певне наближення для шуканого обсягу дає інтегральна

сума , i-ий доданок якої є об'ємом циліндра з висотою й радіусом основи .

При об'єм східчастого, складеного із всіх таких циліндрів, тіла прагне до об'єму V тіла обертання

.

За допомогою аналогічного підходу, шляхом побудови інтегральних сум і наступного граничного переходу, вирішуються інші прикладні завдання: визначення довжини дуги кривій, площі поверхні обертання, статичних моментів і центрів ваги системи матеріальних точок, кривих і плоских фігур і ін.

Приклади:

Знайти площу фігури, обмеженої лініями

1.

2.

Завдання для самоперевірки: Знайти площу фігури, обмеженої лініями

Література:

7. «Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.292-302

8. М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 397-406

9. В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.537-545

Додаткова література:

1. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.359-369

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 1 стр. 491-508