4. Планирование эксперимента

Каждая из экспериментальных наук после начальной стадии качественного описания переходит к установлению количественных характеристик рассма­триваемого явления, т. е. к измерениям. Помимо планирования и осуществле­ния самого измерения важной задачей является также правильная оценка и детальная обработка полученных данных.

Перечислим некоторые типичные задачи, связанные с этим:

1. Рассмотрим влияние различных препаратов на прибавку веса подопытных животных. После того как 25 животным был дан препарат А, наблюдалось увеличение среднего веса на 5%. Препарат В, выданный 10 животным, привел к прибавке в 3%. Является ли препарат А более эффективным? Значения прироста средних показателей (5 и 3%) не дают ответа на этот вопрос, поскольку меньший прирост может быть обусловлен потерей веса одним из животных по каким-либо другим причинам. Следовательно, необходимо изучить распределение отдельных весов и их разброс около среднего значения. Более того, нужно решить, является ли количество подопытных животных достаточным для того, чтобы с заданной точностью выявить различия в степени воздействия этих двух препаратов.

2. В экспериментах по выращиванию кристаллов очень важно придерживаться точного соотношения различных компонент. Из 500 кристаллов возьмем и исследуем выборку, состоящую из 20 кристаллов. Какие выводы можно сделать о структуре остальных 480 кристаллов? Подобная задача об анализе свойств совокупности на основе выборки ее элементов возникает, в частности, при контроле качества, проверке надежности автоматизированных измерительных устройств, а также при выяснении общественного мнения на основании выборочных опросов.

3. Пусть в результате эксперимента были получены некоторые данные. Необходимо решить, не вступают ли они в противоречие с предсказанием теории либо с результатами предыдущих экспериментов. В этом случае эксперимент используется для проверки гипотезы.

4. Допустим, в общем виде известен закон, описывающий зависимость между измеряемыми величинами, а параметры этого закона необходимо получить в результате эксперимента. Например, при радиоактивном распаде число N атомов, распадающихся в секунду, убывает со временем экспоненциально: . Необходимо определить константу распада и определить оценку ее ошибки, максимально эффективно используя последовательность измеренных значений N₁(t₁), N₂(t₂), …, N_n(t_n). Это задача на определение параметров процесса.

Прежде всего следует определить, что мы понимаем под экспе­риментом и его результатом. Опреде­лим эксперимент как протекающий при строго определенных условиях процесс, вследствие которого мы получаем некую величину или набор величин, кото­рые и будут результатом эксперимента. Эти величины могут быть непрерывны (температура, длина, электрический ток) или дискретны (число частиц, дни рождения людей, один из трех возможных цветов).

Вне зависимости от того, насколько точно соблюдаются все условия процес­са, результаты повторных экспериментов в целом будут различаться. Это про­исходит как по причине статистической природы исследуемых данных, так и из-за ограниченной точности измерений. Следовательно, возможные результа­ты эксперимента для каждой величины всегда будут иметь некоторый разброс в конечной области. Все такие области для всех величин, составляющих ре­зультат эксперимента, образуют выборочное пространство этого эксперимен­та. Поскольку для конкретного эксперимента бывает трудно, а зачастую даже невозможно точно определить допустимые области для измеряемых величин, то фактически используемое выборочное пространство может быть обширнее истинного и содержать в себе истинное как подпространство. В дальнейшем мы будем использовать это достаточно неформальное определение выбороч­ного пространства.

Выборочное пространство для непрерывных величин. При изго­товлении резисторов важно поддерживать в заданных пределах значения R (электрического сопротивления) и N (максимальной теплоотдачи, измеряемой в ваттах). Выборочным пространством для R и N явля­ется плоскость, натянутая на оси, соответствующие R и N. Так как обе вели­чины всегда положительны, то выборочным пространством является первый квадрант этой плоскости.

Выборочное пространство для дискретных величин. На практи­ке точные значения R и N несущественны, если они содержатся в некотором интервале около номинального значения (например, 99 кОм < R < 101 кОм, 0.49 Вт < N < 0.60 Вт). В этом случае будем говорить, что резистор обладает свойствами R_n, N_n. Если значения выходят за верхнюю (нижнюю) границу, то заменим индекс n на +(–). Следовательно, возможными значениями сопротивления и теплоотдачи будут R_–, R_n, R₊, N_–, N_n, N₊. Таким образом выборочное пространство состоит из 9 точек:

R_–, N_–, R_–, N_n, R_–, N₊,

R_n, N_–, R_n, N_n, R_n, N₊,

R₊, N_–, R₊, N_n, R₊, N₊.

Случайной величиной называют такую величину, значения которой изменяются при повторении опытов некоторым, заранее не предсказуемым образом. В отличие от неслучайных, детермини­рованных величин для случайной величины нельзя заранее точно сказать, какое конкретное значение она примет в определенных условиях, а можно только указать закон ее распределения. Закон распределения считается заданным, если:

1) указано множество возможных значений случайной величины;

2) указан способ коли­чественного определения вероятности попадания случайной вели­чины в любую область множества возможных значений.

Вероятность попадания в заданную область может быть опре­делена следующим образом:

,

где N_m – количество наблюдений случайной величины, оказав­шихся в заданной области; N – общее число наблюдений (частотное определение вероятности).

Аналитическими выражениями законов распределения случай­ных величин являются функции распределения вероятностей — интегральная и дифференциальная.

Интегральная функция распределения F(х) случайной вели­чины X показывает вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного или текущего значения х, т. е. F(x) = P{X≤x}. Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины X заключено между х₁ и х₂, равна разности значений функции распределения, вычисленных в этих двух точках:

.

Аналогично, .

Если функция F(х) дифференцируема для всех значений случайной величины X, то закон распределения вероятностей может быть выражен в аналитической форме так­же с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

.

Таким образом, значение функции f(x) приближенно равно отношению вероятности попадания случайной величины в интервал (х, х + х) к длине х этого интервала, когда х – бесконечно малая величина. Функцию f(x) называют также функцией плотности распределения вероятностей (функцией плотности вероятности).

Как интегральная, так и дифференциальная функции распреде­ления являются исчерпывающими вероятностными характеристи­ками случайной величины. Однако некоторые основные свойства случайных величин могут быть описаны более просто с помощью определенных числовых параметров. Наибольшую роль среди них на прак­тике играют два пара­метра, характеризующие центр рассеяния (центр распределения) случайной величины и степень ее рас­сеяния вокруг этого центра. Наиболее распростра­ненной характеристикой центра распределения является математическое ожидание (генеральное среднее значение) т_Х случайной величины X:

.

Степень рассеяния случайной величины X относительно т_х может быть охарактеризована с помощью генеральной дисперсии :

.

Независимые переменные величины, влияющие на протекание процесса, принято называть факторами. Так, факторами могут быть температура, давление, состав реакционной смеси и т.п. Эти величины обозначают буквами z₁, …, z_m. Протекание процесса количественно характеризуется одной или несколькими величинами, например, производительностью оборудования, себестоимостью продукции и т.п. Такие величины в теории планирования эксперимента называют функциями отклика и обозначают буквами y₁, …, y_n. Функции отклика зависят от влияющих факторов.

Геометрический образ, соответствующий функции отклика, называют поверхностью отклика. Координатное пространство, по осям которого отложены факторы, называют факторным пространством.

Под описанием математической модели процесса будем понимать систему уравнений, связывающих функции отклика с влияющими факторами. В простейшем случае это может быть одно уравнение.

С помощью математических методов оптимального планирования эксперимента можно получить математическую модель процесса при отсутствии сведений о его механизме. Это в ряде случаев бывает очень полезно.

Ценность математического описания заключается в том, что оно:

1. дает информацию о влиянии факторов;

2. позволяет количественно определить значение функции отклика при заданном режиме ведения процесса;

3. может служить основой для оптимизации.

Следует отметить, что на основе методов планирования эксперимента можно количественно описать также свойства таких продуктов как сплавы, пластмассы, резины, керамики, металлы, бетоны и т. п.

Математические модели, получаемые с помощью методов планирования эксперимента, принято называть экспериментально-статистическими.

Результаты активного эксперимента обрабатывают на основе регрессионного анализа. Для использования регрессионного анализа необходимы следующие предпосылки:

• ошибки эксперимента должны быть распределены по нормальному закону;

• опыты должны быть воспроизводимы.

Следовательно, перед выполнением активного эксперимента необходимо проанализировать статистические данные о нем, чтобы выявить наличие или отсутствие указанных предпосылок.

Существует несколько способов проверки гипотезы о нормальном законе распределения ошибок эксперимента. Для этой цели часто используют W-критерий. В данном случае требуется от 3 до 50 параллельных опытов, выполненных в одинаковых условиях. Наиболее предпочтительным с точки зрения экономии времени эксперимента является грамотная выборка статистических данных из технологических журналов функционирования исследуемых объектов.

Проверка гипотезы осуществляется в следующей последовательности:

1. Результаты опытов располагаем в виде возрастающей последовательности:

y₁  y₂  y₃  …  y_k,

где k – число параллельных опытов.

2. Значение оценки дисперсии S² определяем по формуле

.

3. Вычисляем значение вспомогательной величины b:

,

где l = k/2 – при четном k; l = (k – 1)/2 – при нечетном k; а – справочный коэффициент.

4. Расчетное значение W-критерий определяем по формуле

.

5. Сравниваем расчетное значение W_р с критическим W_т

.

Проверка гипотезы воспроизводимости опытов с помощью критерия Кохрена. Прежде чем приступить к планированию эксперимента, необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы. Для этой цели проводят несколько серий параллельных опытов в рассматриваемой области изменений влияющих факторов и, используя критерий Кохрена G, проверяют гипотезу о воспроизводимости опытов и однородности дисперсий. Алгоритм этой проверки следующий. Для проверки гипотезы о воспроизводимости опытов с помощью критерия Кохрена необходимо иметь результаты нескольких серий параллельных опытов, число которых обычно невелико 2 – 3. В каждом из них количество опытов должно быть одинаковым и не менее 2 – 3.

1. Для каждой серии параллельных опытов вычисляем среднее арифметическое значение функции отклика, определяемое по выражению

,

где j – номер серии; i – номер опыта в серии; k – число параллельных опытов.

2. Рассчитываем оценки дисперсий для всех серий опытов, пользуясь формулой

.

3. Расчетное значение критерия Кохрена G_p представляет собой отношение наибольшей из оценок дисперсий к сумме всех найденных оценок дисперсий:

.

4. Сравним расчетное значение критерия Кохрена G_p и его критическое значение G_Т. Если выполняется условие

,

то принимаем гипотезу о воспроизводимости опытов. В этом случае оценки дисперсий всех серий проведенных опытов считают однородными, т.е. принадлежащими к одной генеральной совокупности.

6. На основании однородных оценок дисперсий вычисляем так называемую оценку дисперсии воспроизводимости опытов, определяемую выражением

.

С данной оценкой связано число степеней свободы: .

Оценку дисперсии воспроизводимости опытов используют при анализе результатов активного эксперимента для проверки статистических гипотез о значимости коэффициентов регрессии и адекватности уравнений регрессии.

Метод полного факторного эксперимента служит для получения математического описания процесса в виде отрезка ряда Тейлора.

Чаще всего ограничиваются линейной частью разложения и членами, содержащими произведения факторов в первой степени. Следует отметить, что коэффициенты искомого уравнения определяются на основе экспериментальных данных, которые измерены с погрешностью. Поэтому истинные значения коэффициентов  заменяют на выборочные оценки b.

Итак, с помощью полного факторного эксперимента получают математическое описание процесса в виде уравнения регрессии:

,

где х – безразмерная координата области факторного пространства.

Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и –1.

Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации варьирования факторов

В табл. 4.1 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента. Часть таблицы, содержащая факторы х₁, х₂, х₃, называется матрицей планирования. Общее количество опытов в матрице планирования определяется как

,

где m – число варьируемых факторов. Коэффициенты регрессии вычисляются по следующим формулам:

, , .

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться незначимыми (пренебрежимо малыми) и соответствующий член можно исключить из уравнения. Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие

,

где t_Т– табличное значение критерия Стьюдента.

Таблица 4.1