1.4 Оцінка похибки функції (Загальна задача теорії похибок)

Задача полягає у визначенні похибки функції U = f за відомими абсолютними (граничними) похибками аргументів

Розв‘язання загальної задачі одержують за допомогою формул:

= ; (1.7)

= = . (1.8)

Приклад 5. Визначити граничні абсолютну і відносну похибки об‘єму кулі при см.

В даній задачі аргументами є і d і π, тому що – теж наближене число. За формулою (1.7) маємо граничну абсолютну похибку

см³.

Гранична відносна похибка

.

1.5 Оцінка похибки математичних дій

На підставі формул (1.7), (1,8) можна сформулювати правила оцінки граничних похибок при виконанні математичних дій з наближеними числами.

– Похибки додавання (віднімання)

Нехай , де . Тоді

. (1.9)

Якщо при , то

. (1.10)

– Похибки множення (ділення)

Нехай де . Тоді

(1.11)

Граничну абсолютну похибку легко визначити за формулою

Якщо при , то

. (1.12)

– Похибки ступеня і кореня

Якщо, то . (1.13)

Якщо U = , то . (1.14)

Оцінку похибки будь-якої послідовності математичних дій одержують при послідовному застосуванні наведених вище правил оцінки похибок.

Приклад 6. Визначення граничної відносної похибки функції

виглядає так

1.6 Обернена задача теорії похибок

Задача полягає у визначенні абсолютних похибок аргументів функції, при яких абсолютна похибка функції не буде перевищувати заданого значення. Така задача однозначно розв‘язується тільки для функції одного аргументу. У загальному випадку для її розв‘язання використовують припущення про однаковий вклад всіх доданків у формулі (1.7) на формування похибки функції Δ_U, тобто приймають

В такому разі із (1.7) маємо

(1.15)

Приклад 7. Розрахунок абсолютних похибок аргументів функції , якщо (при ) виглядає так

;

Лекція 2. Наближені методи розв‘язування нелінійних (алгебричних і трансцендентних) рівнянь

2.1 Загальні відомості

Нехай задано рівняння з однією змінною

, (2.1)

де функція визначена і неперервна на деякому проміжку [R_Н, R_В].

Розв‘язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень [R_Н, R_В], при яких рівняння (2.1) перетвориться в тотожність. Якщо функція – алгебричний багаточлен, то рівняння (2.1) називають алгебричним. Якщо містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, тоді рівняння (2.1) називають трансцендентним.

Універсальних методів для знаходження точних значень коренів алгебричних рівнянь ступеня і трансцендентних рівнянь не існує. Тому важливого значення набувають наближені методи знаходження коренів рівняння з достатньою для практики точністю.

Задача знаходження коренів рівняння (2.1) вважається розв‘язаною, якщо корені обчислені із наперед заданою точністю.

Наближене знаходження коренів рівняння (2.1) складається з двох етапів:

1) відокремлення коренів, тобто виділення проміжків скінченої довжини (відрізків ізоляції коренів) де міститься один єдиний корінь рівняння;

2) обчислення коренів з наперед заданою точністю (уточнення коренів).

Корені рівняння (2.1) можуть бути дійсними і комплексними. Далі розглянуто наближені методи обчислення тільки дійсних коренів.