2.4. Приклад решения злп двойственным симплекс-методом.

Рассмотрим на конкретном, Прикладе процесс реше­ния КЗЛП двойственным симплекс-методом. Для этого, опять-таки, вернемся к задаче (1.34)-(1.35), решенной в п. 1.4.3 и п. 1.5.2. Предположим, что произошли изменения в векторе ограничений b в результате которых

Содержание исходной симплекс-таблицы T⁽¹⁾ (за исключением столбца b(β⁽¹⁾)) будет идентично содержанию таблицы, полу­чающейся на последнем шаге алгоритма, рассмотренного в п. 1.4.3. Для вычисления значений b(β⁽¹⁾) в данном случае мож­но воспользоваться обратной матрицей, полученной на послед­ней итерации в п. 1.5.2:

В результате имеем:

Как видно из таблицы Т⁽¹⁾, в столбце b(β⁽¹⁾) содержатся отрицательные элементы b₁(β⁽¹⁾) = - 1/3<0), то есть базис β⁽¹⁾ ={⁵, ¹, ³} не является оптимальным, но в то же время легко убедиться, что он обладает свойствами сопряженного базиса. Отрицательный элемент в b(β⁽¹⁾) является единствен­ным, поэтому номер столбца, выводимого из базиса, опреде­ляется однозначно — r = 1 и N₁(β⁽¹⁾)=5. Далее рассматриваем строку a₁(β⁽¹⁾) = (0, -1/6, 0, -1/6, 1). В ней имеются отри­цательные элементы. Вычисляем λ₂ =42:(-(-1/6))=252, λ₄ =38:(-(-1/6))=228. λ₂> λ₄, следовательно, номер столбца, вводимого в базис — l = 4. Осуществляем преобразование и получаем симплекс-таблицу T⁽²⁾.

Поскольку b(β⁽²⁾) >0, то достигнутый базис N(β⁽²⁾) = {4,1,3} является оптимальным. Из Т⁽²⁾ можно выписать оптимальный план х* = (6, 0, 32/3, 2, 0) и соответствующее ему значение це­левой функции f(x*)= 444.

3. Алгоритм розв’язку двоїстим симплексим методом.

Решение системы линейных уравнений, определяемое базисом, называется псевдопланом задачи, если для любого j.

Двойственный симплекс-метод позволяет за конечное число итераций найти оптимальный план двойственно невырожденной задачи, или обнаружить, что множество планов пусто.

Теорема 1. Если в псевдоплане, определяемом базисом из mвекторов, есть хотя бы одно отрицательное число, для которого все Координати вектора больше либо равны 0

Теорема 2. Если в псевдоплане, определяемом базисом из m векторов, есть хотя бы одно отрицательное число, для которого хотя бы одна координата вектора меньше 0, то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции уменьшится.

Теорема 3. При решении задачи двойственным симплекс-методом одновременно строится и оптимальный план другой (двойственной) задачи или устанавливается неограниченность снизу.

Алгоритм двойственного симплекс-метода

Этап 1

Находим псевдоплан задачи.

Этап 2

Проверяем псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.

Этап 3

Выбираем направляющую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине компоненты плана и направляющий столбец находят при подсчете наименьшей по абсолютной величине отношения элементов строки разностей к соответствующим отрицательным элементам направляющей строки.

Этап 4

Находим новый псевдоплан и продолжают действия с этапа 2.

Приклад № 1

Розглянемо задачу:

Решение.

Запишем эту задачу в канонической форме:

Умножив первое и второе уравнения системы ограничений этой задачи на -1, перейдем к задаче вида:

Построим для этой задачи двойственную:

Выберем в качестве базиса векторы: , .

Находим величину Можно выбрать первую или вторую строку направляющей. Тогда по величине направляющим столбцом будет столбец

,.

План:

Координати:

В результате:

Находим величину Направляющая строка - вторая. Тогда по величине

направляющим столбцом будет столбец ,.

План:

Координати:

В результате получили оптимальный план .