Тема 1. Похибки чисельного рішення задачі Лабораторна робота № 2

1. МЕТА РОБОТИ

• Навчитися аналізувати обчислювальну похибку.

• Навчитися оцінювати „обчислювальну стійкість” алгоритмів що реалізують чисельні методи на ЕОМ.

• Навчитися будувати стійки обчислювальні алгоритми.

2. ЗАВДАННЯ ТА ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ

• Приклад №1. Нехай треба знайти найменший корінь рівняння , якщо розрахунки проводимо у десятковій системі числення та на мантису числа відводиться 4 розряди ( повинні отримати відповідь y = 0,01). Ця відповідь немає жодної значущої цифри.

• Побудувати стійкий алгоритм обчислення кореню шляхом „позбавлення від ірраціональності у чисельнику”. (Повинні отримати відповідь y = 0,007143, що має всі вірні значущі цифри).

• Приклад №2. Підрахувати суму 25 членів ряду за умов, що обчислення проводитимуться у десятковій системі з п’ятьма знаками у представленні числа для значення x = -5,5 (порівняти свою відповідь з зразковою відповіддю 0,0026363).

• Підрахувати значення e^-5,5 (відповідь 0,00408677).

• Пояснити, що сталося у нашому алгоритмі? (В разі труднощів - дивись теоретичний матеріал).

• Побудувати стійкий алгоритм для правильного підрахунку висчезазначенного прикладу. (В разі труднощів - дивись теоретичний матеріал). Правильна відповідь 0,00408654.

3. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

• Що таке алгоритм та обчислювальний алгоритм?

• Що таке стійкість алгоритму?

• Які правила побудови стійкого алгоритму?

• Як позбутися від ірраціональності в чисельнику або в знаменнику?

4. ЗМІСТ ЗВІТУ

Звіт складається з відповідей на контрольні запитання та виконаних завдань з усіма викладками та поясненнями кінцевого результату.

5. ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Обмеження на представлення числа у ЕОМ може привести до перерви обчислень або до неприпустимого погіршення результату за рахунок обчислювальної похибки. Така ситуація можлива у „нестійких” алгоритмах.

Саме побудова „стійких” алгоритмів є задачею теорії чисельних методів.

При реалізації нестійких алгоритмів навіть коротенька послідовність обчислень може привести до катастрофічної утрати вірних знаків у кінцевому наближеному рішенні.

Якщо задача має рішенням величину набагато меншу за нуль, а алгоритм чисельного методу при послідовних обчисленнях має діяти з величинами на декілька порядків більших, ніж сам результат, то при великих абсолютних похибках при обчисленні результат отримується без жодного вірного знаку.

Велика абсолютна похибка може бути наслідком відносно невеликої кількості знаків у представленні числа у ЕОМ. Тому такі алгоритми потребують модифікації, щоб послідовність обчислень у ЕОМ була такою, що величини на декілька порядків більше ніж сам результат знаходилися у знаменнику обчислювальних алгоритмів.

Таким чином з’ясовується можлива різниця між формулою методу розв’язку математичної задачі та обчислювальним алгоритмом для реалізації його на конкретній ЕОМ. Цим пояснюються нестійкості алгоритмів у наших прикладах № 1, № 2.

У прикладі № 1 прийшлося віднімати близькі один до одного великі числа, ці числа були округлені з великою абсолютною похибкою. Тут ми вперше зіткнулися з явищем вигублення значущих цифр. Алгоритм слід так пере формулювати, щоб обчислення з великими числами проводились у знаменнику.

Так у прикладі № 2 деякі члени суми, а саме п’ятий, мають похибку округлення май же рівну самому кінцевому результату. На представлення перших десяти членів ряду витрачено два знаки до десятинної коми і лишилось три знаки після десятинної коми. В той час як у остаточному результаті значущі цифри починаються з третього знаку після коми. Такий алгоритм потребує модифікації так, щоб великі члени суми знаходилися у знаменнику формули алгоритму.