2 Нахождение пределов по определению
Пример
1. Доказать, что
Доказательство.
Возьмем произвольное сколь угодно малое
и определим номер
такой, чтобы выполнялось неравенство
За
возьмем целую часть
.
Итак, для произвольного
найдется номер
,
что для всех
будет выполняться неравенство
,
следовательно, число 4 является пределом
последовательности.
Пример
2.
Доказать, что
.
Доказательство. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке x=1 ее аргумент не принимает значения, равное 1. Имеем
при
Возьмем
любое
.
Тогда:
,
если
и
Отсюда
видно, что если взять
,
то для всех
,
удовлетворяющих неравенству
при
,
выполняется требуемое неравенство:
Это
означает, что
3 Неопределенность
Неопределенности
такого вида возникают при вычислении
пределов типа:
,
если
При этом возможны частные случаи:
-
Числитель
и знаменатель
дроби - многочлены.
Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.
Пример
3.
Найти
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
2) Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.
Пример
4.
Найти
Решение.
При
числитель
и знаменатель стремятся к нулю. Для
раскрытия неопределенности
умножим числитель и знаменатель на
выражение, сопряженное знаменателю по
формуле разности кубов. Тогда
получим:
=
3) Выражение содержит тригонометрические функции. Для решения примера необходимо путем тригонометрических и алгебраических преобразований свести его к первому замечательному пределу.
Пример
5.
Найти
Решение.
Подстановкой предельного значения
убедимся, что имеем неопределенность
.
Применяем тригонометрическую формулу
,
преобразуем полученное выражение,
сводим к первому замечательному пределу.
Пример
6.
Найти
Решение.
Сделаем замену
,
т.е.
Ясно, что
при
Поэтому
4
Неопределенность вида
1)
Числитель и знаменатель дроби при
-
полиномы.
Для
раскрытия неопределенности целесообразно
числитель и знаменатель разделить на
степень с наивысшим показателем, а затем
перейти к пределу.
Пример
7.
Найти
Решение.
2)
Пример
8.
Найти
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби
на старшую степень n
(выбираем из двух вариантов
и
),
т.е на
Тогда
5
Неопределенность вида
Для
раскрытия этой неопределенности
необходимо путем преобразования
исходного выражения получить
неопределенность вида
или
,
т.е свести к предыдущим случаям 3,4
Пример
9.
Найти
Решение.
6
Неопределенность вида
Этот
случай нахождения предела функции можно
привести к случаю
или
путем
преобразования функции к виду дроби.
Пример
10.
Найти
Решение. Рассматривая данную функцию как дробную со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель на x:
7
Неопределенность вида
Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида:
,
где
,
или
,
где
,
.
Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.
Пример
11.
Найти
Решение.
Полагая
,
получим
когда
,
и
,
,
так как
8 Комбинированные случаи
Для этих наиболее сложных случаев раскрытия неопределенностей общих рекомендаций нет. В каждом примере свой подход к решению. При достаточно хороших навыках в решении пяти предыдущих случаях, можно воспользоваться, приведенными выше рекомендациями.
Пример
12.
Решение.
Имеем
неопределенность вида
.
Это отчетливо видно, если с помощью
свойств логарифма представить предел
в виде:
=
На основании непрерывности логарифмической функции перейдем к пределу под символом логарифма, т.е
