4. Изменение колонки коэффициентов при небазисной переменной

Чтобы ответить на вопрос 4 и 5, сформулированные в начале данного занятия, рассматривают соответствующее ограничение двойственной задачи. Если оно оказывается непротиворечивым, следовательно, изменение технологических коэффициентов (появление возможности выпуска нового вида продукции), не влияет на текущее оптимальное решение.

Пример 7.1.

Пусть изменилась технология производства столов: он продается по 43 у.е., но используется 5 м² древесины и по 2 часа времени на столярном и отделочном участках. Выгодно ли станет их выпускать?

Рассмотрим соответствующее ограничение двойственной задачи:

Подставляя в него оптимальное решение двойственной задачи (0;10;10;0), получим: 40  43, которое противоречиво. То есть текущее решение не оптимально, и x₂ нужно ввести в базис. Это и понятно, поскольку фабрика использует ресурсов на 2·10 + 2·10 = 40 у.е., а продает по 43, следовательно выгодно ввести столы в базис. Если бы цена была 40 грн. и меньше, текущее решение не изменилось бы.

Пример 7.2.

Фабрика может выпускать скамеечки по цене 15 у.е., затрачивая 1 м² древесины и по 1 часу на столярном и отделочном участках. Нужно ли запускать скамеечки в производство?

Соответствующее двойственное ограничение имело бы вид:

Подставляя в него оптимальное решение двойственной задачи (0;10;10;0), получим: 20  15. Удовлетворение этого ограничения говорит о том, что тратить ресурсов на 20 у.е. и продавать по 15 у.е. не выгодно и текущее решение не изменится – скамеечки производить не стоит.

Задания к занятию 7

Задача 7.1.

На основании решения задачи 3.4:

определить:

1. диапазоны изменения коэффициентов целевой функции;

2. диапазоны изменения правых частей ограничений.

Задача 7.2.

Сталеплавильная компания использует кокс, чугун и рабочую силу для производства трех сортов стали. Затраты ресурсов на производство 1 т стали каждого сорта и цены на сталь приведены в таблице:

Сорт стали	Затраты кокса, т	Затраты чугуна, т	Затраты труда, ч	Цена продажи, $
1	3	1	1	51
2	2	0	1	30
3	1	1	1	25

Компания может купить до 200 т кокса по цене $10 за тонну, до 60 тонн чугуна по цене $8 за тонну, и до 100 часов рабочего времени по цене $5 за час.

Пусть x₁, x₂, x₃ – количество производимой стали каждого сорта. Задача оптимизации имеет вид:

Решить задачу, найти решение двойственной задачи. Ответить на следующие вопросы:

1) Какой будет прибыль компании, если в ее распоряжении чугуна будет не 60, а 40 тонн?

2) Какой минимальной должна быть цена стали 3-го сорта, чтобы было выгодно ее производить?

3) Найдите новое оптимальное решение задачи, если цена продажи стали 1-го сорта будет равна $55 за тонну.

4) Как отразится на оптимальном решении снижение количества часов рабочего времени, покупаемого компанией, до 75?

5) Пусть цена за тонну чугуна возросла до $10. Как это отразится на оптимальном решении?

6) Компания имеет возможность докупить 5 тонн чугуна по более высокой цене. Какую максимальную цену может позволить себе компания?

7) Компания может докупить 60 тонн кокса по цене 11 грн. Имеет ли смысл в такой покупке? Можно ли сказать, как изменится целевая функция?

8) Имеется возможность выплавлять новый вид стали по цене $35 с затратами кокса – 2, чугуна – 1 и труда – 1. Имеет ли смысл запускать этот вид стали в производство?