3. Анализ влияния параметров настроек п-регулятора на корни характеристического уравнения замкнутой системы и афчх разомкнутой по корневым годографам

Точки, указанные преподавателем (Т_б; k_рег):

(30;11), (20;10), (10;9)

Корневой годограф – это траектории, описываемые на комплексной плоскости корнями характеристического уравнения при изменении одного из параметров от 0 до ∞.

1) Измененяем коэффициент усиления разомкнутой системы k_рег

Рисунок 5 Корневые годографы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы k_рег

2) Измененяем постоянную времени Т_б

Рисунок 6 Корневые годографы при изменении постоянной времени Т_б

3) Изменении коэффициент усиления k_рег и постоянную времени Т_б

Рисунок 7 Корневые годографы при изменении коэффициента усиления k_рег и постоянной времени Т_б

Рисунок 8 Корневые годографы при изменении k_рег, Т_б, k_рег и Т_б

Таблица1. Значение корневых годографов при варьировании k_рег, Т_б, k_рег и Т_б.

	RE(x1)	IM(x1)	RE(x2)	IM(x2)	RE(x3)	IM(x3)
K=9 T=10	-0,225	0,000	-0,004	0,122	-0,004	-0,122
K=10 T=20	-0,183	0,000	0,000	0,100	0,000	-0,100
K=11 T=30	-0,168	0,000	0,001	0,089	0,001	-0,089

Из таблицы видно, что в точке (10;9) система устойчива, т.к. все вещественные корни отрицательны; в точке (30;11) система неустойчива, т.к. есть положительные вещественные корни; в точке (20,10) система находится на границе устойчивости, т.к. присутствуют нулевые вещественные корни.

4. Определение величины запаса устойчивости в заданных точках по модулю (кривые Найквиста)

Критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Определим устойчивость разомкнутой системы. Ее характеристическое уравнение имеет вид:

D(p)=(T₁·р+1)( T₂·p+1)( T_б·p+1)

Корни уравнение левые: , , .

Система устойчива. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от - ∞ до ∞ не охватывала точку с координатами (-1;j0).

Рисунок 9 Кривые Найквиста

По мере одновременного увеличения значений параметров Крег и Тб кривые Найквиста расширяются (разворачиваются)

Если кривая Найквиста не охватывает точку (-1;j0), то точка с координатами (Тб, Крег) соответствующая этой кривой попадает в область устойчивости и система в этой точке устойчива.

Оценка запаса устойчивости проводится на основе критерия Найквиста, т.е. по удалению АФЧХ разомкнутой системы от точки (-1;j0). Это удаление оценивается запасом устойчивости по модулю (амплитуде) с и запасом устойчивости по фазе γ.

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла γ=π - |ψ(ω_с)| для частоты ω_с, при которой W(ω_с) = 1.

По амплитуде – как величину отрезка оси абсцисс, заключённого между точкой

(-1;j0) и точкой пересечения АФЧХ с осью абсцисс.

Рассмотрим график в увеличенном состоянии.

Рисунок 10 Кривые Найквиста в окрестности точки (-1; j0)

Кривая, которой соответствуют значения k_рег=9, Т_б=10 не охватывает точку (-1; j0), значит, в точке (10; 9) система устойчива.

Кривая, которой соответствуют значения k_рег=10, Т_б=20 проходит через точку (-1; j0), значит, в точке (20; 10) система находится на границе устойчивости.

Кривая, которой соответствуют значения k_рег=11, Т_б=30 охватывает точку (-1; j0), значит, в точке (30; 11) система неустойчива.

Запас устойчивости – это удаление амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от точки . Запас устойчивости характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе γ и запасом устойчивости по амплитуде с.

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла, образовавшегося между прямой проведенной из точки начала координат в точку пересечения кривой с единичной окружностью с центром в точке (0;0) и осью абсцисс. По амплитуде – как величину отрезка оси абсцисс, заключённого между точками (-1; j0) и точкой пересечения АФЧХ с осью абсцисс.

В точке (10; 9) запас устойчивости по модулю c=1 – 0,22 = 0,78, по фазе γ = 5^о.

В точке (20; 10) запас устойчивости по модулю и по фазе будет равен нулю.