Задания для самостоятельной работы.

Методом Гаусса решите системы уравнений:

Лабораторная работа № 12. Нахождение собственных значений линейного оператора.

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка над полем К. Матрица

где  - независимая переменная, а Е – единичная матрица того же порядка, что и А, называется характеристической матрицей матрицы А.

Определитель характеристической матрицы

представляет собой полином (многочлен) n-ой степени от  и называется характеристическим полиномом матрицы А.

Легко видеть, что членом, имеющим относительно  степень n, будет только произведение элементов главной диагонали определителя А-Е. Все остальные члены характеристического определителя будут иметь относительно  степень не выше n-2, так как всякий член определителя А-Е, содержащий множителем элемент а_ij, не может содержать множителями элементы (а_ii-) и (a_jj-) и будет, следовательно, иметь относительно  степень не выше n-2.

В результате раскрытия скобок в члене определителя

(a₁₁ -) (a₂₂ -) ... (a_nn -)

получим не только  в степени n, но и  в степени n-1, при этом коэффициентом при ⁿ будет (-1)ⁿ, а коэффициентом при ^n-1 – (-1)^n-1(a₁₁+ a₂₂+...+ a_nn).

Сумма диагональных элементов матрицы А называется следом матрицы А и обозначается через Sp A, т.е.

Sp A = a₁₁+ a₂₂+...+ a_nn. (3).

Обозначим характеристический полином А-Е через (). Тогда

() = А-Е = (-1)ⁿⁿ +(-1)^n-1 (Sp A) ^n-1+...+p_n,

где p_n =(0)= А.

Уравнение () =0, или А-Е=0 называется характеристическим, или вековым уравнением матрицы А. Корни характеристического уравнения матрицы А называются собственными значениями или характеристическими числами матрицы А. Совокупность всех собственных значений ₁, ₂, ..., _n , где каждое число фигурирует столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения, называется спектром матрицы А.

Согласно формулам Виета произведение корней уравнения равно свободному члену, т.е.

₁ ₂ ... _n=А.

Отсюда следует, что матрица А тогда и только тогда имеет хотя бы одно собственное значение, равное нулю, когда она вырождена.

Для определения коэффициентов характеристического уравнения ⁴-р₁³-р₂²-р₃- р₄ =0 матрицы, воспользуемся методом Леверрье, который заключается в следующем:

1. вычисляют степени матрицы А по формуле : А^k=A^k-1*A (k=1, 2, ..., n) (4);

2. находят след для каждой из матриц А^k по формуле (3);

3. находят коэффициенты характеристического уравнения по формуле:

p_k= Sp А^k -p₁Sp А^k-1-... – p_k-1 Sp А. (5),

в результате чего получаем характеристическое уравнение ⁿ+р₁^n-1+р₂^n-2+...+ р _n-1+р _n =0 матрицы А.

Для нахождения корней характеристического уравнения воспользуемся методом Лобачевского, сущность которого заключается в квадрировании корней. При квадрировании корней каждый коэффициент преобразованного уравнения равен квадрату прежнего коэффициента, минус удвоенное произведение соседних с ним коэффициентов, плюс удвоенное произведение следующих в порядке близости к исходному коэффициентов (если нужный коэффициент отсутствует, то он считается равным нулю). Формулу нахождения коэффициентов можно записать в следующем виде:

где предполагается р_s= 0 при s<0 и s>n.

Процесс квадрирования корней следует прекратить, если коэффициенты некоторого преобразованного уравнения в пределах точности вычислений равны квадратам соответствующих коэффициентов последующего преобразованного уравнения за счёт отсутствия удвоенных произведений. Корни уравнения находят по формуле:

(k=1, 2,..., n) (7),

где m – число квадрирований.

Пусть нам дана матрица 4–го порядка, имеющая следующий вид:

Приступим к реализации поставленной задачи, используя инструменты программы Excel. Для этого:

1. Включите компьютер.

2. После того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Excel.

• Заполните ячейки А1D4 таблицы значениями элементов матрицы.

3. Далее посчитаем степени матрицы А по формуле (4), т.е. найдём А², А³, А⁴:

• выделите область А7D10;

• воспользуйтесь функцией МУМНОЖ, которая находится в мастере функций ƒ_х в категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, где для нахождения матрицы А² окне Массив1 выделите область А1: D4, и в окне Массив2 выберите область А1: D4;

• одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.

• д

  Рис. 12.1

  ля нахождения матрицы А³ выделите область А12D15, снова воспользуйтесь функцией МУМНОЖ, где в окне Массив1 выделите область А7: D10, а в окне Массив2 выберите область А1: D4, после чего снова нажмите одновременно на клавиши Shift+Ctrl+Enter.

• аналогично найдите матрицу А⁴ в области А17D20, где в окне Массив1 выделите область А12: D15, а в окне Массив2 выберите область А1: D4, и после нажатия клавиш Shift+Ctrl+Enter экран Excel примет вид (см. рис. 12.1).

4. Найдём следы Sp А^k для каждой из матриц А^k по формуле (3). Для этого:

• в ячейку Е5 занесём формулу (3) , после чего нажмём на клавишу Enter; в результате SpА=16.

• в ячейку Е11 занесём формулу вида :, после чего снова нажмём на клавишу Enter; в результате SpА²=312;

• в ячейках Е16 и Е21 подсчитаем SpА³ и SpА⁴ соответственно, в результате чего SpА³=5227, SpА⁴=91244.

4. Найдём коэффициенты р₁, р₂, р₃ и р₄ характеристического уравнения по формуле (5), где р₁= - SpА;

р₂= (Sp А²+ р₁SpА)/(-2);

р₃= (Sp А³+ р₁SpА²+ р₂SpА)/(-3);

р₄= (Sp А⁴+ р₁SpА³+ р₂SpА²+ р₃SpА)/(-4).

Как видно из рис. 12.2, р₁= -16, р₂= -28, р₃=71 и р₄= -3, в результате чего получаем характеристическое уравнение, имеющее следующий вид:

Рис. 12.2

⁴-16³-28²+71 -3 =0.

6. Найдём корни характеристического уравнения, пользуясь методом Лобачевского. Для этого составим таблицу, в первом столбце которой будут стоять степени, а в последующих пяти столбцах методом Лобачевского будут высчитываться коэффициенты преобразованных уравнений по формуле (6), в частности для коэффициентов Р₀, Р₁, Р₂, Р₃ и Р₄ получаем формулы:

Р_о=р_о²,

Р₁=р₁²-2р₁р_о,

Р₂=р₂²-2р₁р₃+2р_ор₄,

Р₃=р₃²-2р₂р₄,

Р₄=р₄².

Для того чтобы реализовать поставленную задачу, надо:

• активизировать ячейку Н2 и занести в неё с клавиатуры число 1 (столбец Н – будет просчитывать степени);

• в ячейку I2 занесите с клавиатуры число 1 (столбец I – будет считать коэффициенты Р₀ преобразованных уравнений);

• в ячейках J2, K2, L2, M2 с клавиатуры занесите числа –16, -28, 71, -3 соответственно (столбцы J2, K2, L2, M2– будут считать коэффициенты Р₁, Р₂, Р₃, и Р₄ преобразованных уравнений);

• активизируйте ячейку Н3 и занесите в неё формулу вида =Н2*2, нажмите на клавишу Enter, после чего автозаполнением заполните ячейки Н4Н10;

• а

  Рис. 12.3

  ктивизируйте ячейку I3 и занесите в неё формулу вида = I2*I2, нажмите на клавишу Enter, после чего автозаполнением заполните ячейки I4I10;

Аналогично предыдущим двум действиям, вначале заполните ячейки J3, K3, L3, M3 формулами вида: для J3: = J2*J2 -2*I2*К2, для К3: = К2*К2 -2*J2*L2 +2*I2*М2, для L3: = L2* L2 -2*К2*М2 и для М3: =М2*М2, после чего автозаполнением заполните ячейки J4 J10; К4К10; L4L10 и М4М10. Результаты вычислений представлены на рис. 12.3.

Из рис. 12.3 видно, что в ячейках J10, К10 и L10 вместо чисел появилось значение ошибки ЧИСЛО!, что в конкретном случае указывает на то, что процесс квадрирования корней следует прекратить, так как коэффициенты преобразованного уравнения в пределах точности вычислений равны квадратам соответствующих коэффициентов последующего преобразованного уравнения за счёт отсутствия удвоенных произведений. Следовательно, ячейки Н10М10 очистим.

Посчитаем в ячейках J11, К11 ; L11 и М11. Получаем следующие значения (см. рис. 12.4).

Далее, логарифмируя полученные значения, найдём ₁, ₂, ₃ и ₄. Для этого:

• активизируйте ячейку J12;

• в

  Рис. 12.4

  оспользуемся функцией СТЕПЕНЬ, которая находится в мастере функций ƒ_х в категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, для того, чтобы посчитать ₁;

• в окне Число запишите число 10, а в окне Степень нажатием ЛКМ выделите ячейку J11, после чего нажмите на клавишу Enter (рис. 12.5);

• автозаполнением заполните ячейки К12М12.

7. Непосредственной подстановкой найденных корней в исходное уравнение, определим знаки корней. Для этого:

• активизируйте ячейку J14 и занесите в неё формулу:

• =

  Рис. 12.5

  I2*СТЕПЕНЬ(J12;4)+J2*СТЕПЕНЬ(J12;3)+K2*СТЕПЕНЬ(J12;2)+L2*J12+M2;

• заполните ячейки К14М14, используя предыдущую формулу, меняя лишь корни в функции СТЕПЕНЬ. В результате получим (рис. 12.6).

• В ячейке К14 значение уравнения равно –372, следовательно, поменяем знак в ячейке К12 на – противоположный, получаем, см. рис. 12.7:

Рис. 12.6

Рис. 12.8