3) Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой точки которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

О

M(x,y)

F₁(-c,0)

F₂(c,0)

x

y

Рис.3.

бозначим фокусы через F₁ и F₂ расстояние между ними 2c, а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2. По определению 2<2c то есть <c. Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Oxy так, что фокусы F₁ и F₂ лежат на оси Ox ,а начало координат совпадает с серединой отрезка F₁F₂ (рис.3.)

Тогда F₁(-c,0),F₂(c,0).Пусть M(x,y)- произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению или то есть . После упрощения, аналогичных тем, которые мы делали при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

, где (1)

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

1.Уравнение гиперболы содержит x и y в четной степени. Следовательно гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy, а также т.O, которую называют центром гиперболы.

2.Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив y=0, находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox: A₁(,0),A₂(-,0). Положив x=0, получим y²=-b² , чего не может быть. Следовательно, гипербола ось Oy не пересекает. Точки A₁(,0) и A₂(-,0) называются вершинами гиперболы, а отрезок A₁A₂=2- действительной полуосью гиперболы.

Отрезок B₁B₂ (B₁B₂=2b), соединяющий точки B₁(0,b) и B₂(0,-b) , называется мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2 и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

3. Из уравнения гиперболы следует, что уменьшаемое не меньше единицы, то есть или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x= (правая ветвь) и слева от прямой x=- (левая ветвь).

4

0

A_{2 0}0 ₀₎₍бб(,0)

A₁

F₁(c,0)

F₂(-c,0)

Рис.4.

. Из уравнения гиперболы видно, что когда |x| возрастает, то и |y| возрастает. Это следует из того, что разность - сохраняет постоянное значение, равное единице. Из всего сказанного следует, что гипербола имеет форму изображенную на рис.4. (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей)

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении т.M вдоль кривой K от начала координат.

На рис.4 приведена иллюстрация сказанного. Покажем, что гипербола имеет две асимптоты: и

Так как эти прямые и гипербола симметричны относительно осей координат, то достаточно рассмотреть только точки указанных линий, расположенные в первой четверти. Возьмем на прямой т.N, имеющую ту же абсциссу x, что и точка M(x,y) на гиперболе

И найдем разность MN между ординатами прямой и ветви гиперболы(рис.5)

B₁ (0, b)

M(x, y)

d

N

Рис.5.

0

A₁(,0) 0)

При возрастании x знаменатель дроби увеличивается, числитель=const. Стало быть, длинна MN→0, так как MN>d , то и d → 0. То есть - асимптоты гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы () называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы :

,т.к. с>a, то >1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет , тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Гиперболы и имеют общие асимптоты, такие гиперболы называются сопряженными.