4.1.2. Матрицы и операции над ними

[1], гл.2; [8], гл.4, §2; [10]

Пример 3. Решить систему уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение: Введем следующие матрицы:

- матрица составлена из коэффициентов при неизвестных (матрица системы);

- матрица-столбец из неизвестных;

- матрица-столбец свободных членов. При этом исходная система может быть записана в матричной форме: . Решим это уравнение. Для этого умножим слева обе части уравнения на матрицу , обратную матрице А (в предположении, что матрица существует):

Так как по определению обратной матрицы , где - единичная матрица, то матричное уравнение примет вид:

Таким образом, матрица-столбец X находится по формуле Обратная матрица существует, если определитель исходной матрицы А отличен от нуля: D(A) 0, и вычисляется по формуле:

где А_ik – алгебраические дополнения элементов а_ik. Матрицы А(I,к=1,2,3). Определитель матрицы А равен

(см. пример 2).

Таким образом, D(A) 0, следовательно существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следует обратить внимание, что при нахождении обратной матрицы алгебраические дополнения элементов строк располагаются в качестве столбцов. Отсюда

Проверим, правильно ли найдена обратная матрица. Для этого убедимся, что Произведение матриц найдем по правилу умножения матриц, согласно которому каждый элемент с_ik произведения равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-ой строки матрицы В.

Следовательно, обратная матрица найдена верно. Найдем теперь неизвестную матрицу X:

Проверим полученный результат:

Матрица X найдена верно. Таким образом,

следовательно, решение системы уравнений имеет вид:

4.1.3. Векторы, операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов

[2], гл.1; [8], гл.2; [10]

При решении задач на эту тему необходимо знать определения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, уметь вычислять и применять эти произведения.

Скалярным произведением векторов и называется число

.

Зная координаты перемножаемых векторов , можно вычислить скалярное произведение

Условием ортогональности (перпендикулярности) векторов а и b является равенство нулю их скалярного произведения

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор который

1. перпендикулярен векторам и ,

2. образует с ними правую тройку , , и

3. длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е. . Если известны координаты перемножаемых векторов, то векторное произведение вычисляется по формуле:

Смешанное произведение векторов есть скалярное произведение вектора на векторное произведение и и вычисляется по формуле

Абсолютная величина смешанного произведения векторов , , равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если , , -правая тройка векторов, то если левая, то - условие компланарности трех векторов , , .

Пример 4. На векторах построен треугольник ABC. Найти площадь треугольника ABC и его высоту, опущенную на сторону ВС, если длины векторов равны соответственно 1 и , а угол, образованный векторами , равен 135°.

Решение: 1) Найдем площадь S треугольника ABC. Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения, то есть

Вычислим векторное произведение векторов Для этого применим распределительное свойство векторного произведения:

Векторное произведение вектора самого на себя равно нулевому вектору, следовательно при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, значит

Отсюда,

Находим модуль полученного вектора

Следовательно,

2) Найдем сторону ВС треугольника ABC, то есть длину вектора . Согласно правилу треугольника сложения векторов,

, откуда

Найдем длину полученного вектора по формуле:

Под корнем стоит скалярное произведение вектора самого на себя. Найдем его

С учетом того, что получаем

Таким образом,

3) Найдем высоту h треугольника ABC, опущенную на сторону ВС. По формуле площади треугольника имеем откуда Площадь треугольника S и сторона ВС найдены ранее:

S = 26, ВС = 13. Следовательно,