10 626 «Четверок».

Ответ: 10 626.

3. Использование элементов комбинаторного анализа

ПРИ РАЗРАБОТКЕ МОЛОЧНО-БЕЛКОВЫХ ДЕСЕРТОВ

В Красноярском крае достаточно хорошо развита молочная промышленность, массово заготавливаются различные ягодные культуры, поэтому имеются широкие возможности для производства комбинированных молочно-белковых десертов с ягодными наполнителями из местного сырья [16]. В качестве наполнителей из растительного сырья было использовано ягодное пюре, полученное из брусники, клюквы, клубники, облепихи и черной смородины. Эти культуры широко распространены на территории Красноярского края, массово заготавливаются и используются населением в пищу в натуральном или переработанном виде.

Пример 3.1. Сколько различных комбинированных молочно-белковых десертов с ягодными наполнителями можно разработать, имея в наличии пюре брусники, клюквы, клубники, облепихи и черной смородины:

а) используя только одну ягоду (при фиксированном весе наполнителя);

б) используя все возможные варианты ягодных наполнителей (без повторения).

Решение

А. Используя только одну из предложенных ягод можно составить = различных комбинированных молочно-белковых десертов с ягодными наполнителями.

Б. Возможен вариант, что не используется ни один из пяти наполнителей. Этому случаю соответствует . Один из вариантов – использование одного из наполнителей. Таких вариантов . Если будет использовано пюре двух ягод, то число вариантов десертов равно . Для использования трех наполнителей (любых из пяти ягод) существует вариантов и т. д. Наконец, может быть использовано пюре всех ягод: брусники, клюквы, клубники, облепихи и черной смородины. Число вариантов в этом случае равно . Тогда по правилу сложения число всех возможных вариантов использования наполнителей равно

.

С другой стороны, для каждой из наполнителей существует две возможности: пюре ягоды будет использовано или нет при разработке комбинированных молочно-белковых десертов. Таким образом, каждую из 5 операций, можно выполнить согласно четвертому свойству сочетаний

.

Если рассматривать только комбинированные молочно-белковые десерты только с ягодными наполнителями, то число таких вариантов составит 2⁵ – 1 = 31 (при этом десерт без ягоды не учитывается).

Ответ: а) 5; б) 31.

Пример 3.2. Сколько различных комбинированных молочно-белковых десертов с ягодными наполнителями можно разработать, имея в достаточном количестве бруснику, клюкву, клубнику, черную смородинy, при фиксированном весе наполнителя (25 г. на 100 г. десерта), варьируя вес различных наполнителей (например, по 5 г.).

Решение. Если имеется пять различных ягод в достаточном количестве, тогда количество вариантов различных десертов с наполнителями можно определить, используя формулу числа сочетания с повторениями (1.8.1):

,

здесь m может быть и больше n.

Если задано 5 различных элементов и требуется составить сочетания с повторениями из них, то число сочетаний с повторениями из 5 элементов по 1 равно:

.

Число сочетаний с повторениями из 5 элементов по 2 равно

.

Число сочетаний c повторениями из 5 элементов по 3 составит

=.

Число сочетаний c повторениями из 5 элементов по 4 равно =.

Число сочетаний c повторениями из 5 элементов по 5 составит

=126.

По правилу сложения число всех возможных вариантов использования ягодного пюре, при фиксированном весе наполнителя ( г. на г. десерта), варьируя вес различных наполнителей (например, по г.) равно

При наличии пюре пяти ягод (брусника, клюква, клубника, облепиха и черная смородина) можно составить 251 различных комбинированных молочно-белковых десертов, при фиксированном весе наполнителя ( г. на г. десерта), варьируя вес различных наполнителей (например, по г.).

Ответ: 251.